Общая постановка задачи

Мы объединили эти два класса задач в одном разделе потому, что они являются «сопряженными» – методы, используемые для вычисления корней, можно использовать для определения экстремумов и наоборот.

Система нелинейных уравнений с р неизвестными может быть записана в виде:

f_i(x₁, …, x_p)=0, i=1, …, p

в которых хотя бы одна функция f_i нелинейна.

С этой системой мы можем связать некоторую неотрицательную функцию Ф(x₁, …, x_p) такую, что ее нулевой минимум является решением системы нелинейных уравнений, например:

Ф(x₁, …, x_p)=

и решать задачу поиска корней методами поиска экстремума.

С другой стороны, при заданной для поиска минимума функции многих переменных можно, дифференцируя ее по каждой из переменных и приравнивая частные производные нулю, составить систему уравнений, решение которой даст координаты искомого минимума:

=0, i=1, …, p

и выполнить определение координат минимума решением системы уравнений.

Оба класса задач распадаются на подклассы, выделяемые, например, по размерности вектора аргументов – одномерный или многомерный поиск (корней или экстремума), или по наличию или отсутствию существенных погрешностей в определении значения функций – поиск (корней или экстремума) в условиях помех или при их отсутствии, или по выполнению предварительной локализации искомого объекта – определение экстремума унимодальной или многоэкстремальной функции в заданном диапазоне (с одним или многими корнями в интервале неопределенности в случае вычисления корней).

Мы начнем рассмотрение методов с наиболее простых задач – для функций одной переменной при отсутствии помех в определении значений унимодальной функции в заданных точках.