Метод конечных разностей для линейных краевых (граничных) задач

Пусть задано обыкновенное дифференциальное уравнение порядка р или эквивалентная ему система из р уравнений первого порядка. Необходимо найти решение f(t) уравнения на интервале [t₀, t_n], удовлетворяющее граничным условиям функциональной связи между искомой функцией и ее производными

j_k(f(t_k), f⁽¹⁾(t_k), …, f(^p-1)(t_k)=0.

Для существования и единственности решения граничной задачи необходимо, чтобы количество граничных условий k совпадало с порядком заданного дифференциального уравнения. Следовательно, граничную задачу можно поставить для уравнения, порядок которого не ниже второго.

Граничные условия могут быть заданы в любой из точек интервала и, в частности, на границах интервала [t₀, t_n] и в том числе на его границах. Для упрощения выкладок мы и будем рассматривать граничную задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

f⁽²⁾(t)+p(t)f⁽¹⁾(t)+q(t)f(t)=r(t).

Граничные условия зададим в виде линейной комбинации искомой функции f(t) и ее первой производной f⁽¹⁾(t) в точках t₀ и t_n:

g₁f(t₀)+g₂f⁽¹⁾(t₀)=g₃, g₄f(t_n)+g₅f⁽¹⁾(t_n)=g₆.

На первом этапе решения задачи составляются конечно-разностные схемы исходного дифференциального уравнения и граничных условий, в которых производные заменяются их приближенными выражениями через конечные разности.

Интервал [t₀, t_n] разобьем на n–1 часть с шагом
h=(t_n–t₀)/n.

Искомую функцию f(t) в окрестности узла t_i представим в виде разложения в ряд Тейлора

f(t)=f(t_i)+(t–t_i)f⁽¹⁾(t_i)+(1/2)(t–t_i)²f⁽²⁾(t_i)+…

B точках t_i+1 и t_i-1, отстоящих на расстоянии h от узла t_i, пользуясь разложением, получим следующие значения функции f(t):

f(t_i+1)=f(t_i)+hf⁽¹⁾(t_i)+(1/2)h²f⁽²⁾(t_i)+…

f(t_i-1)=f(t_i)–hf⁽¹⁾(t_i)+(1/2)h²f⁽²⁾(t_i)+…

Приближенные значения для первой и второй производных функции f(t) в точке t_i получим путем вычитания и сложения левых и правых частей последних выражений:

f⁽¹⁾(t_i)= +O(h²),

f⁽²⁾(t_i)= +O(h²).

Заменяя производные в исходном уравнении их приближенными значениями, получим конечно-разностную схему этого уравнения

+p(t_i) +q(t_i)f(t_i)=r(t_i), i=1, ..., n.

Аналогичным образом заменим граничные условия их конечно-разностными представлениями

g₁(t₀)f(t₀)+g₂ =g₃(t₀),

g₄(t_n)f(t_n)+g₅ =g₆(t_n).

Совокупность разностных схем уравнения и граничных условий представляет собой систему (n+3) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных f(t_-1), f(t₀), ..., f(t_n+1). Матрицы этой системы приводятся к трехдиагональному виду, и тогда систему можно решить методом прогонки. Из первого конечно-разностного уравнения для граничных условий выразим неизвестное f(t_-1) и подставим его в конечно-разностное уравнение системы при i=0, в результате получим линейное соотношение

f(t₀)=k₀–l₀f(t₁), где

k₀= ,

l₀=

При i=1 уравнение f(t₀)=k₀–l₀f(t₁) приводится к виду f(t₁)=k₁–l₁f(t₂), а для произвольного значения i получим f(t_i)=k_i–l_if(t_i+1). Пограничные коэффициенты k_i, l_i вычисляются по рекуррентным формулам:

k_i= ,

l_i= ,

полученным путем приведения разностного уравнения системы к форме f(t_i)=k_i–l_if(t_i+1) после замены значений
f(t_i-1)=k_i-1–l_i-1f(t_i).

Из конечно-разностной схемы для второго граничного условия после подстановки выражений для f(t_n+1) и f(t_n-1) из f(t_i)=k_i–l_if(t_i+1) и f(t_i-1)=k_i-1–l_i-1f(t_i) найдем соотношение для вычисления неизвестного f(t_n):

f(t_n)= .

Затем в процессе обратного хода метода прогонки, полагая последовательно i=n–1, n–2, …, 0, по формуле f(t_i)=k_i–l_if(t_i+1) вычисляются значения остальных искомых величин f(t_n-1), f(t_n-2), …, f(t₀). Так как погрешности аппроксимации первой и второй производной пропорциональны квадрату шага, этот вариант метода имеет второй порядок.