Многошаговые методы (методы Адамса)

Перед нами все та же задача Коши

f⁽¹⁾(t)=F(t, f(t)), a£t£b, f(a)=f_a.

В одношаговых методах значение f(t_k+1) определялось только информацией в предыдущей точке t_k. Представляется возможным повысить точность решения, если использовать информацию в нескольких предыдущих точках при ее наличии. Так и поступают в методах, которые называются многошаговыми. С первого взгляда на постановку задачи становится очевидным, что в момент старта t=t_a есть только одно начальное условие и, если мы собираемся работать с двумя, тремя или четырьмя предыдущими точками, то не видно, как получить вторую, кроме использования одношаговых методов. Так и поступают; «комплексный» алгоритм решения может выглядеть так:

на первом шаге одношаговым методом получают вторую точку, на втором получают третью с помощью двухшагового метода, на третьем – четвертую с помощью трехшагового метода и т.д., пока для основного метода, который предполагается использовать, не наберется достаточно предыдущих точек.

Другой вариант состоит в том, что весь стартовый набор точек получается с помощью одношагового метода, например, Рунге-Кутта четвертого порядка. Поскольку многошаговые методы предполагаются более точными, для стартового одношагового метода используют обычно большее число промежуточных точек, т.е. работают с более коротким шагом.

Многошаговые алгоритмы можно создать так. Учитывая, что

f(t_k+1)=f(t_k)+ ,

можно численно проинтегрировать стоящую под знаком интеграла правую часть ОДУ. Если использовать метод прямоугольников (интерполяционный полином для интегрируемой функции – константа), получим обычный метод Эйлера. Если использовать 2 точки и интерполяционный полином первого порядка

p(x)= ,

то интегрирование по методу трапеций от t_k до t_k+1 даст следующий алгоритм:

f(t_k+1)=f(t_k)+0.5h(3F_k-F_k-1).

Аналогично для трех точек будем иметь квадратичный интерполирующий полином по данным (t_k-2, F_k-2), (t_k-1, F_k-1), (t_k, F_k) и интегрирование по методу Симпсона даст алгоритм:

f(t_k+1)=f(t_k)+ (23F_k–16F_k-1+5F_k-2).

Для 4-х точек полином будет кубическим и его интегрирование даст:

f(t_k+1)=f(t_k)+ (55F_k–59F_k-1+37F_k-2–9F_k-3).

В принципе мы могли бы продолжать так сколь угодно долго.

Приведенные алгоритмы носят название методов Адамса-Башфорта второго, третьего и четвертого порядков.

Формально мы можем при построении интерполяционного полинома помимо N уже просчитанных точек использовать и еще R будущих t_k+1, t_k+2; в простейшем случае набор

t_k+1, t_k, t_k-1,…, t_k-N.

При этом порождается класс так называемых методов Адамса-Моултона. В четырехшаговом варианте он оперирует с данными (t_k+1, F_k+1), (t_k, F_k), (t_k-1, F_k-1), (t_k-2, F_k-2) и его алгоритм:

f(t_k+1)=f(t_k)+ (9F_k+1+19F_k–5F_k-1+F_k-2).

Нельзя, разумеется, вести расчет по отсутствующим данным, поэтому алгоритмы Адамса объединяют в последовательность алгоритмов Адамса-Башфорта и Адамса-Моултона, получая при этом так называемые методы прогноза и коррекции. Например, метод прогноза и коррекции четвертого порядка выглядит так: вначале прогнозируем по алгоритму Адамса-Башфорта с использованием «прошлых» точек

f(t_k+1)=f(t_k)+ (55F_k–59F_k-1+37F_k-2–9F_k-3).

Затем по вычисляем приближенное значение правой части уравнения

F_k+1=F(t_k+1, f(t_k+1).

И, наконец, корректируем f(t_k+1) с использованием его же приближенного значения

f(t_k+1)=f(t_k)+ (9F_k+1+19F_k–5F_k-1+F_k-2).

Наиболее эффективные из имеющихся компьютерных программ, позволяющих пользователю менять величину шага и порядок метода, основаны на методах Адамса высокого порядка (свыше 10). Опыт эксплуатации этих программ показывает, что различия в их реализации могут оказывать более существенное влияние на точность, чем различия во внутренних свойствах самих методов.