Конечно-разностные методы решения задачи Коши для линейных и нелинейных ОДУ

Рассмотренный в предыдущем разделе символический метод решения линейных ОДУ является аналитическим; к численному решению мы прибегали только при вычислении комплексных корней характеристического полинома. В настоящем разделе мы рассмотрим класс численных методов, пригодных для решения как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений.

Приступая к численному решению задачи Коши для конкретного дифференциального уравнения (в общем случае – нелинейного относительно искомой функции), мы имеем скудный исходный материал – само уравнение n-го порядка и начальные условия в виде значений функции и n–1 ее производных в момент t=0 (или в более общем случае при t=a, если интервал t определен как [a, b]).

При этом мы не ставим перед собой задачу отыскания общего решения соответствующего класса уравнений, наша задача – получить частное конкретное решение: найти последовательность значений функции для конечной последовательности значений аргумента, удовлетворяющих заданному уравнению.

По-видимому, решение может быть найдено только в случае его единственности – для корректно поставленных задач. Кроме того, уравнение (или система уравнений) должно быть хорошо обусловленным – малые изменения его коэффициентов или начальных условий должны приводить к малым изменениям решения, в противном случае решение может оказаться неустойчивым. Соответствующее требование устойчивости предъявляется и к методу решения задачи – малым изменениям шага дискретизации по аргументу должны соответствовать малые изменения решения. Теория устойчивости алгоритмов – специальный раздел вычислительной математики, мы коснемся этих вопросов только «вскользь», чтобы предостеречь от возможных недоумений при получении неверных решений.