ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности.

Законом распределенияд. с. в. называется соответствие между возможными значениями этой случайной величины и соответствующими им вероятностями .

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически, то есть с помощью формул , определяющих вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение . Если д. с. в. Х принимает конечное множество значений соответственно с вероятностями , то закон распределения можно задать в виде таблицы:

			…
			…

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей равна единице, то есть

.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной декартовой системе координат строят точки (х_i, p_i) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Полученная при этом линия называется многоугольником распределения случайной величины Х (рис. 1).

Рис. 1. Многоугольник распределения

Теперь можно дать более точное определение д. с. в.

Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел таких, что

и .

Общая схема решения задач на построение законов распределения будет следующей:

1) введение и четкое описание случайной величины, о которой идет речь в задаче;

2) описание множества ее возможных значений ;

3) рассмотрение выполнения каждого из равенств как случайного события;

4) вычисление вероятностей этих событий с помощью основных теорем и формул;

5) проверка правильности составленного распределения с помощью равенства .

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей значения с вероятностью

и д. с. в. Y, принимающей значения с вероятностями

называется д. с. в.

Z=X+Y (Z=X–Y, Z=X·Y),

которая принимает значения ( , ) с вероятностями для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм (разностей , произведений ) соответствующие вероятности складываются.

Произведение д. с. в. на число λ называется д. с. в. λX, принимающая значения с вероятностями .

Две д. с. в. X и Y называются независимыми, если события и независимы для любых , то есть

.

В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Биномиальное распределение.Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А. Очевидно, что в этих п испытаниях событие А может появиться 0, 1, 2,…, п–1, п раз. Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

.

,

,

--------------------------------

,

.

			…	n-1	n
			…

Пример.

Монета брошена два раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность появления «герба» , . При двух бросаниях монеты «герб» может появиться 0, 1 и 2 раза, то есть . Вероятности этих значений равны:

,

.

Искомый закон примет вид:

	0,25	0,5	0,25

(Контроль: )

Распределение Пуассона.Если вероятность р наступления события А в п испытаниях постоянна и мала ( ), а число испытаний достаточно велико ( ), то вероятность того, что при п независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз находится по формуле Пуассона:

, где

Распределение Пуассона является предельным для биномиального, если число опытов устремляется к бесконечности, а вероятность события стремится к 0, причем их произведение остается постоянным. С этим связано еще одно название распределения Пуассона – закон редких событий.

Пример.

Торговая база получила 1000 электролампочек. Вероятность повреждения электролампочки в пути 0,001. Составьте закон распределения поврежденных электролампочек, указав первые пять значений этой случайной величины. Определите вероятность того, что в пути было повреждено четыре электролампочки.

Решение. Пусть случайная величина X – количество поврежденных электролампочек. Данная с. в. может принимать множество значений . Отсюда следовательно, имеем дело с редкими событиями и – достаточно велико, поэтому для решения задачи используем формулу Пуассона:

, где

Тогда вероятности значений с. в. будут равны:

Искомое распределение примет вид:

	0,3679	0,3679	0,1839	0,0613	0,0153

Проверку сделать в данном примере достаточно сложно, так как случайная величина имеет большое количество значений.

Вероятность того, что в пути было повреждено четыре лампочки, будет равна:

Геометрическое распределение.Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, следовательно, вероятность его непоявления . Испытания заканчиваются, как только появляется событие А.

Пусть в первых испытаниях событие А не появилось, а в п-ом испытании появилось. Тогда . Полагая, получим геометрическую прогрессию:

.

Случайную величину, распределенную по геометрическому закону, можно интерпретировать как число опытов (испытаний), проведенных по схеме Бернулли до первого положительного исхода.

Пример.

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания равна 0,6. Составить закон распределения числа производимых выстрелов, если имеется четыре патрона.

Решение. С. в. Х – число производимых выстрелов: Найдем вероятности каждого из значений.

Если был один выстрел, то сразу было попадание, тогда:

Если выстрелов было два, то при первом выстреле был промах, а при втором попадание, тогда:

Аналогично находится :

Если было четыре выстрела, то возможны два случая: при первых трех выстрелах были промахи, а четвертое попадание или все четыре – промаха.

Искомое распределение примет вид:

	0,6	0,24	0,096	0,064

(Контроль: .)

Гипергеометрическое распределение.Рассмотрим задачу. Пусть в партии из N изделий имеется М стандартных (М<N). Отбирают п изделий. Обозначим через с. в. Х – число m стандартных изделий среди п отобранных.

Итак, искомую вероятность найдем как отношение благоприятствующих исходов к общему числу исходов. Число благоприятствующих исходов . Общее число исходов . Итак, искомая вероятность равна: . Эта формула определяет гипергеометрическое распределение.

Данное распределение определяется тремя параметрами . Если мало по сравнению с (практически при ), он приближается к биномиальному распределению с параметрами и .

Пример.

Среди 50 изделий 20 окрашенных. Наугад отобрали три изделия. Постройте ряд распределения числа окрашенных изделий, содержащихся в указанной выборке.

Решение. Случайная величина X – число окрашенных деталей среди отобранных. Она может принимать следующие значения: . Соответствующие им значения найдем, исходя из классического определения вероятности:

Отсюда ряд распределения с. в. X имеет вид:

	0,216	0,444	0,291	0,058

(Контроль: .)

Примеры:

1.Монету бросают 5 раз. Составите закон распределения количества выпавших гербов.

Решение. Случайная величина X – число выпадений герба. При однократном бросании монеты вероятность выпадения герба равна , то есть

При пятикратном бросании монеты герб может выпасть 0, 1, 2, 3, 4 и 5 раз, следовательно, случайная величина X принимает следующие значения: Найдем вероятности этих значений, используя формулу Бернулли:

;

;

Закон распределения имеет вид:

	1/32	5/32	10/32	10/32	5/32	1/32

(Контроль: .)

2.Вероятности того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б равны соответственно 0,7 и 0,9. Составите закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент. Постройте многоугольник распределения.

Решение. Пусть А: {событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен по дисциплине А}; B:{событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен по дисциплине Б}. Случайная величина X – число экзаменов, которые сдал студент. Она может принимать следующие значения: Соответствующие им значения найдем, исходя из теорем сложения и умножения вероятностей:

Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:

	0,03	0,34	0,63

(Контроль: .)

Строим многоугольник распределения (рис. 2):

Рис. 2. Многоугольник распределения

3.В лотерее разыгрывается мотоцикл стоимостью 250 руб., велосипед стоимостью 50 руб. и часы ценой 40 руб. Найдите закон распределения случайной величины выигрыша для лица, имеющего один билет, если число билетов равно 100.

Решение. Случайная величина X – выигрыш для лица, имеющего один билет. Она может принимать следующие значения: . Соответствующие им значения найдем, исходя из классического определения вероятности. Если , то выигрыш составляет 0 руб. Всего билетов 100, а невыигрышных 97, значит Если значение случайной величины X равно 40, то . Аналогично находятся и :

.

Закон распределения имеет вид:

	0,97	0,01	0,01	0,01

(Контроль: .)

4. Дана случайная величина Х :

	–2
	0,5	0,3	0,2

Найдите закон распределения с. в.: а) ; б) .

Решение.

а) Значения случайной величины Y будут равны:

с теми же вероятностями 0,5; 0,3; 0,2. Итак, Y=3X:

	–6
	0,5	0,3	0,2

б) найдем значения случайной величины Z: (–2)²=4; 1²=1; 2²=4, то есть . Искомые вероятности будут равны: , . Тогда закон распределения с. в. Z имеет вид:

	0,3	0,7

5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин и .

X:					Y:		–2
		0,5	0,2	0,3			0,1	0,6	0,3

Найдите закон распределения случайных величин: а) б)

Решение.

а) Составим вспомогательную таблицу:

Итак, с. в. Z может принимать значения: . Вероятности соответственно будут равны:

,

Тогда закон распределения с. в. Z имеет вид:

	–2
	0,15	0,36	0,26	0,2	0,03

(Контроль );

б) составим вспомогательную таблицу:

	Y	–2
Х		0,1	0,6	0,3
	0,5
	0,2
	0,3

Итак, с. в. Z может принимать значения: . Вероятности соответственно будут равны:

,

.

Итак, с. в. имеет следующий закон распределения:

	–8	–4
	0,03	0,02	0,8	0,06	0,09

(Контроль ).