Основные действия над матрицами.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) двух матриц А_mxn=(a_ij) и B_mxn=(b_ij) является матрица C_mxn=(c_ij) такая, что c_ij = a_ij ± b_ij ( , ).

Определение. Произведением матрицы А_mxn=(a_ij) на произвольное число k называется матрица B_mxn=(b_ij) такая, что b_ij=k a_ij ( ).

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Свойства:

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение: Произведением матрицы А_mxn=(a_ij) на матрицу B_nxp=(b_jk) называется матрица C_mxp=(c_ik) такая, что

( , ), т.е. элемент i-й сторки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Схематично:

Свойства:

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения.

Если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера: А×Е = Е×А = А. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

2) Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O, где О – нулеваяматрица.

3) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

4) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС и (А + В)С = АС + ВС.

5) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB).

6) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство: (АВ)^Т = В^ТА^Т.

Определение: Элементарными преобразованиями матриц являются:

Перестановка местами двух параллельных рядов матриц;

Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение: Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической: .

Примеры.

1. Найти произведение матриц А = и В = .

Решение: АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

2. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А^ТВ+aС.

Решение: A^T = ; A^TB = × = = ;

aC = ; А^ТВ+aС = + = .

3. Привести к каноническому виду матрицу

Решение:

~ ~ ~ ~ ~ ~

Определители( детерминанты).

Определение. Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA или , называемое ее определителем, следующим образом:

1. n=1, А=(а₁), =а₁;

2. n=2, , = ;

Схема:

3. n=3, ,

=а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₃а₂₁а₃₂+а₃₁а₁₂а₂₃-(а₁₃а₂₂а₃₁+а₁₁а₃₂а₂₃+а₃₃а₂₁а₁₂)

Схема:

4. n=n, тогда определителемквадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: detA = (i = 1,2,…,n).

Для матрицы А число m_ik называется минором элемента матрицы a_ik. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой минор. Миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Минором некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Определение. Алгебраическим дополнениемэлемента а_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j- четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозн. А_ij=(-1)^i+jm_ij.

Вывод: Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Например:

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁, … ,i_s, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Замечания:

1. определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы.

2. различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

3. определитель единичной матрицы равен 1.

Свойства:

1. det A = det A^T. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2.det ( A ± B) = det A ± det B. Если элементы строки или столбца определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

4. Определитель, имеющий две одинаковые строки или столбца, равен нулю.

5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Следствие: Если все элементы некоторой строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

Док-во:

6. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

8. Если для элементов какой-либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁ ± d₂ , e = e₁ ± e₂ , f = f₁ ± f₂ , то верно:

9. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельной строки или столбца равна нулю. А₂₁а₁₁+А₂₂а₁₂+А₂₃а₁₃=0

10. det ( AB) = det A det B

Примеры:

1. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

2. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 –

– 152 = -26.

Обратная матрица.

Определение.Квадратнаяматрица А называется невырожденной, если определитель не равен нулю. В противном случае матрица А называется вырожденной.

Определение.Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица А^*= , где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы А.

Определение.Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратнойк матрице А и обозначается А^-1.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Док-во:

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть . Составим союзную матрицу А^*= и найдем произведение матриц А и А^*:

Аналогично: А^*А= . Отсюда получаем: .

Свойства:

1) (A^-1)^-1 = A;

2) (AB)^-1 = B^-1A^-1

3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

Таким образом, А^-1= .