Общие сведения

Мы уже отмечали, что наиболее просто вычисляются решения линейных дифференциальных уравнений; для линейного уравнения первого порядка это решение – экспонента, для уравнения n-го порядка – сумма экспонент. Этот тип дифференциальных уравнений и описываемых с их помощью линейных (или искусственно линеаризованных для упрощения) систем широко используется на практике при решении всех перечисленных классов задач – идентификации, анализа и управления.

Еще в конце 19-го века английский физик О. Хевисайд предложил способ вычислений, который назвал операционным. Он рассматривал знак дифференцирования d/dt как оператор р и операцию дифференцирования записывал как pf(t), n-я производная записывалась как pⁿf(t) – то есть оператор p n раз прилагался к функции f(t). Оператор 1/p или
р^-1 представлял операцию интегрирования, так как приложение оператора р к р^-1 снова давало f(t): pp^-1f(t)=f(t). При этом формулы с дифференциалами и интегралами приводились к алгебраической форме – Хевисайд называл это алгебраизацией задачи. До работ Карсона и Леви, давших методу фундаментальное математическое основание, обращаться с оператором р как с алгебраическим числом в вычислениях было небезопасно – в этом приеме скрывалось множество скрытых ловушек и только гениальная интуиция Хевисайда спасала его от ошибок в вычислениях.

Современное операционное исчисление рассматривает либо функции, связанные интегральным преобразованием Карсона

F_K(p)=р ,

либо преобразованием Лапласа:

F_L(p)= .

В результате обоих преобразований функция f(t) вещественного переменного t преобразуется в функцию F(p) комплексного аргумента p=s+iw, (s и w – вещественные, i= ).

Между функциями F_K(p) и F_L(p) очевидна взаимосвязь вида

pF_L(p)=F_K(p).

Преобразование Карсона удобно использовать в анализе электрических цепей, а мы будем использовать преобразование Лапласа (опуская индекс L в обозначении) в соответствии со сложившейся практикой в большинстве прикладных областей.

Приведенное функциональное соотношение записывают в виде F(p)Ìf(t) или f(t)ÉF(p) и говорят, что «F(p) есть изображение f(t)» или «f(t) есть оригинал F(p)». Достаточным условием существования изображения функции f(t) является требование ее кусочной непрерывности и существования таких положительных чисел М и s, чтобы |f(t)|<Me^αt.

Рассмотрим некоторые