Ставится задача вычислить интеграл вида , где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) – функция, заданная на отрезке [a, b] последовательностью значений в узлах, в простейшем случае – равноотстоящих.
К численным методам обращаются также при невозможности записать первообразную функцию аналитически через элементарные функции или когда такая запись имеет слишком сложный вид. В любом случае материалом для вычисления интеграла служит конечная последовательность дискретных значений, но при интегрировании вычисляемых аналитических функций есть возможность изменять шаг между узлами для повышения точности вычислений.
Простейший метод вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей функцией v(x), для которой первообразная легко выражается в элементарных функциях.
Используемые на практике методы численного интегрирования можно классифицировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.
Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации и отличаются друг от друга степенью аппроксимирующего полинома. Эти алгоритмы просты и легко программируются.
Сплайновые методыбазируются на сплайновой аппроксимации подынтегральной функции, различаются по типу выбранных сплайнов и применяются в задачах обработки данных с использованием сплайнов.
Методы наивысшей алгебраической точности (Гаусса-Кристофеля и др.) применимы в основном к аналитическим функциям, используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов.
Методы Монте-Карло используют случайное расположение узлов и дает результат вероятностного смысла.
Независимо от метода, в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность, которая зависит от числа участков разбиения интервала интегрирования – уменьшается с ростом числа участков за счет более точной аппроксимации и одновременно растет за счет погрешности суммирования частичных интегралов. Эта составляющая с некоторого значения N начинает преобладать, что препятствует чрезмерному дроблению интервала интегрирования.
Мы рассмотрим только методы вычисления определенных интегралов из семейства методов Ньютона-Котеса.
Методы прямоугольников.Это простейшие из класса Ньютона-Котеса методы основаны на аппроксимации подынтегральной функции полиномом нулевой степени – константой на заданном отрезке интервала. Для такой аппроксимации достаточно одной точки – любого значения подынтегральной функции в любом узле; это значение считается постоянным на всем промежутке между соседними узлами. Осмысленный выбор левой или правой границ шага разбиения в качестве значения на всем частичном интервале сделать трудно даже при наличии априорной информации о поведении функции в интервале интегрирования – метод дает только грубую оценку значения определенного интеграла – априорная нижняя оценка погрешности интегрирования RAPRIOR=
Для главного члена оценки априорных погрешностей использую конструкцию вида RAPRIOR=Ahp, где А – коэффициент, зависящий от метода интегрирования, h – шаг интегрирования, р – порядок метода. Эту зависимость можно использовать для большинства методов численного интегрирования.
Для оценки апостериорной погрешности используют так называемую первую формулу Рунге
RAPOSTER=(wh–wkh)/(kp–1),
где wh, wkh – значения некоторой переменной w, вычисленной с шагом h и kh, k – коэффициент увеличения шага. Эта формула позволяет получить главную составляющую апостериорной оценки погрешности двойным просчетом с различными шагами.
Для случая, когда порядок метода неизвестен, используют формулу Эйткена для вычисления kp для подстановки в первую формулу Рунге:
kp=(wkh–wkh2)(wh–wkh).
Чтобы использовать этот метод, надо третий раз вычислить w с шагом k2h.
Метод трапеций получается при замене подынтегральной функции полиномом первой степени P1(x), для чего приходится использовать обе границы частичного интервала. На каждом элементарном отрезке аргумента х участок кривой интегрирования представляет собой отрезок прямой – две ординаты и отрезок оси абсцисс вместе с этой прямой ограничивают фигуру трапецеидальной формы, что и дает название этому методу кусочно-линейной аппроксимации подынтегральной функции. Приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции:
.
Оценка априорной погрешности равна
RAPRIOR=– .
Метод Симпсонаполучается при замене подынтегральной функции полиномом 2-й степени, при записи в Ньютоновской форме для 3-х узлов
Полная априорная погрешность оценивается величиной RAPRIOR= , если невелико значение четвертой производной, иначе можно получить большую погрешность, чем у методов второго порядка точности. Например, для функции
f(x)=–25x4+45x2–7
при n=2 для интервала [–1, 1] метод трапеций дает точный результат, равный 4, а формула Симпсона неправильно определяет даже знак (–8/3).
, где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) – функция, заданная на отрезке [a, b] последовательностью значений в узлах, в простейшем случае – равноотстоящих.
.
.
(f0+4f1+f2)h/3.
, если невелико значение четвертой производной, иначе можно получить большую погрешность, чем у методов второго порядка точности. Например, для функции