Матрицы и основные понятия, связанные с ними

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы

Матрицы и основные понятия, связанные с ними

Определение. Матрицей, размером называется прямоугольная таблица чисел вида, состоящая из строк и столбцов.

Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита ,…

.

Матрица размера содержит чисел, называемых элементами данной матрицы.

При этом a_ij – это элемент матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца.

i-я строка матицы целиком обозначается, как правило, _× т.е.

j-ый столбец матрицы обозначается т.е.

Таким образом, матрицу A можно коротко записать 3-мя способами:

1. , i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n (как набор элементов).

2. (как «набор»-столбец строк)

3. (как «набор»-строка столбцов)

Определение.Множество матриц размера обозначается .

Например: – одна из матриц , где

=2, = , .

Матрицы несут две основные функции:

1) это удобная форма хранения и переработки информации;

2) матрица задает отображение одного пространства в другое т.е.

Определение.Матрицы А и В одного размера называютсяравными, если они совпадают поэлементно:

.

Среди матриц выделяются:

1) нулевая матрица – матрица произвольного размера, состоящая из нулей:

2) матрица-строка – матрица, состоящая из одной строки:

3) матрица –столбец– матрица, состоящая из одного столбца:

4) квадратная матрица – матрица, состоящая из одинакового количества строк и столбцов:

.

В этом случае вместо «матрица размера » говорят «матрица порядка ».

Определение.Говорят, что элемент квадратной матрицы лежит на главной диагонали, если . Схематично изображают так: .

Определение.Говорят, что элемент квадратной матрицы лежит на побочной диагонали, если . Схематично изображают так: .

5) Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, вне главной диагонали, равны нулю.

6) Единичная матрица– диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы.

– единичная матрица размера 4 4.

7) Верхнетреугольная матрица – матрица у которой все элементы под главной диагональю равны 0, то есть , если .

8) Нижнетреугольная матрица (самостоятельно)

9) Ступенчатая матрица …

Замечание. Верхнетреугольная матрица является ступенчатой.

10) Симметрическая матрица ???