Общая методика решения задач аппроксимации

Обычно в качестве аппроксимирующей функции выбирают линейную комбинацию функций, выбранных из рассмотренных классов, вида:

t(x)=

с действительными коэффициентами c_i. Если такой обобщенный многочлен сформирован и выбран критерий оптимальности приближения, то можно составить и решить систему алгебраических уравнений, линейных относительно коэффициентов с_i:

=f(x_k),

где k=0, 1, 2, … – порядковый номер узла, f(x_k) – заданное табличное значение функции в k-м узле.

Очевидно, что количество таких уравнений должно быть не меньше n+1, а способ ее решения зависит от критерия приближения.

Если требуется точное проведение аппроксимирующей функции через узловые точки, то есть решается задача интерполяции в постановке Лагранжа, то k=n+1, а к системе функций предъявляются следующее требование:

Чтобы для заданной функции f(x), определенной на отрезке [a, b], и набора n+1 узлов x₀, x₁, …, x_n (xÌ[a, b]) существовал и был единственным обобщенный интерполяционный многочлен t(x)= , необходимо и достаточно, чтобы любой обобщенный многочлен (с хотя бы одним ненулевым коэффициентом) по выбранной системе функций имел на отрезке [a, b] не более n корней.

В настоящем пособии рассмотрены только основные методы алгебраической аппроксимации в разрезе задач интерполяции функций и сглаживания по методу наименьших квадратов. Специфичные вопросы прогнозирования и фильтрации требуют рассмотрения стохастических подходов и не укладываются в короткий вводный курс.