Собственные векторы и собственные значения

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если действие этого оператора на сводится к растяжению вектора в раз, т.е.

.

Число при этом называют собственным значением оператора .

Из данного определения следует схема получения и . Перепишем или и так как , то

.

В развернутом виде получим однородную систему:

(20)

которая называется характеристической, и будет иметь ненулевое решение, если ее определитель обращается в нуль:

(21)

Уравнение (21) называется характеристическим (или вековым) и служит для получения собственных значений . После раскрытия определителя приходим к алгебраическому уравнению 3-й степени вида:

(22)

где – след матрицы ; – алгебраические дополнения, – определитель матрицы .

Пусть уравнение (22) имеет три действительных корня . Тогда из системы (20) находим координаты собственных векторов . Составим матрицу , по столбцам которой стоят координаты этих векторов. Это матрица перехода от стандартного базиса к базису из собственных векторов и тогда линейный оператор в этом базисе будет иметь матрицу вида:

,

причем диагональную, по главной диагонали которой стоят собственные значения , т.е.

.

Это справедливо только для случая различных действительных корней.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

Замечание. Если матрица линейного оператора симметрическая , то ее собственные значения действительные и различные, а собственные векторы ортогональны.

Предлагаем студентам проверить это самостоятельно.

Пример 14

Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе симметрической матрицей

.

Решение

Искомый собственный вектор удовлетворяет характеристической системе

Собственные значения удовлетворяют уравнению .

После раскрытия определителя получаем алгебраическое уравнение 3-й степени: , где ,

, , ,

.

Приходим к уравнению вида:

Получаем собственные значения – все действительные и различные.

Строим собственные векторы. Значение подставляем в характеристическую систему:

Ее определитель равен нулю, и, следовательно, ранг системы (т.к. минор ). Система равносильна системе:

или

, , .

По правилу Крамера . Полагаем и получаем 1-й собственный вектор . Можно взять и тогда .

Аналогично значение подставляем в характеристическую систему:

Вновь система равносильна двум уравнениям:

т. к. минор и . Находим решения системы по формулам Крамера:

; ; .

Получаем координаты второго собственного вектора: . Полагаем и , . Можно взять и тогда .

Далее берем и подставляем в характеристическую систему:

, ,

. Получим 3-й собственный вектор . Можно взять , тогда .

Ответ: , , , .

Заметим, что построенные векторы взаимно перпендикулярны в пространстве, т. к. , , .

Собственные векторы можно нормировать:

, , – эти три вектора образуют ортонормированный базис в 3-х мерном пространстве.

Показать, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов будет иметь диагональную форму: .