Если указано правило, по которому вектору 
ставится в соответствие единственный вектор 
, то говорят, что задан оператор 
, такой, что
 .
|
Он обладает свойствами:
1) 
– аддитивность;
2) 
– однородность,
и называется линейным оператором.
При этом вектор называют образом вектора 
, а сам вектор – прообразом вектора 
. Мы рассматриваем только случай, когда оператор задается матрицей 
, где 
, 
, поэтому для него справедливы свойства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) существует нулевой оператор 
, такой, что 
;
5) существует тождественный оператор 
, такой, что 
.
Если 
и 
, то 
, где 
. Действительно, 
и 
. Это есть свойство транзитивности линейного оператора.
Теорема 3. Матрицы 
и 
линейного оператора в базисах 
и 
связаны соотношением
 ,
|
| (19)
|
где 
– матрица перехода от «старого» базиса 
к «новому» базису 
.
Доказать теорему самостоятельно.
Пример 13
В базисе 
линейный оператор задан матрицей 
. Найти матрицу оператора в базисе 
.
Решение
Составим матрицу перехода от «старого» базиса к «новому» , по столбцам которой стоят координаты векторов 
и 
:
.
Тогда по формуле 
получим вид матрицы линейного оператора в «новом» базисе. Для этого построим обратную матрицу 
, где 
. Алгебраические дополнения: 
, 
, 
, 
, отсюда 
. Находим 
Ответ: матрица линейного оператора в «новом» базисе имеет вид 
.
