Теорема 1 (Крамера).

СЛАУ (11) можно привести к виду:

.

(15)

Тогда возможны три случая:

1. Если главный определитель , то система (11) имеет единственное решение:

, где .

2. Если , а хотя бы один , то система не совместна (решений не имеет), поскольку имеется противоречивое уравнение .

3. Если и все , то система имеет бесконечное число решений.

1.7. Метод Гаусса

Для систем произвольного вида

, где

(16)

(прямоугольных), где число уравнений не совпадает с числом неизвестных, применяется общий метод последовательного исключения (МПИ) неизвестных, основанный на элементарных преобразованиях типа:

1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;

2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число, отличное от нуля;

3) перестановка местами двух уравнений системы.

Такие преобразования системы не изменяют множество ее решений и называются преобразованиями типа Гаусса. Заметим, что, выполняя преобразования 1–3 над уравнениями системы, соответствующие элементарные преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы:

.

Поэтому на практике экономичней проводить МПИ в матричной форме. После конечного числа шагов элементарных преобразований приходим к матрицам вида:

а)

или

б)

В случае а) система примет треугольную форму и будет иметь единственное решение, а в случае б) система примет трапециевидную форму и будет иметь множество решений.

Заметим, что если на некотором шаге появится строка , , то система будет несовместной, т.е. не будет иметь решений.

Нахождение неизвестных из преобразованной (треугольной или трапецевидной) системы идет снизу вверх и называется обратным ходом в методе Гаусса.