Композиция функций

Так как всякая функция – это бинарное отношение, можно строить композицию функций, как композицию бинарных отношений.

Если f: X® Z (z = f(x)) и g: Z® Y (y = g(z)), их композиция f g определяется обычным образом,

f g = {(x, y)| xÎX, yÎY, ( zÎZ):(x, z)Î f и (z, y)Î g}.

Учитывая, что f и g – функции, можно записать f g = {(x, y)| xÎX, yÎY, ( zÎZ): (x, z)Î f и (z, y)Î g} = {(x, y)| ( z): z = f(x)и y = g(z)} = {(x, y)| y = g(f(x))}.

Теперь видно, что композиция функций – не просто бинарное отношение, а тоже функция, отображающая множество Х в множество Y.

Пример.

Пусть f(x) = 2x + 1, g(x) = .

Найти f g, g f и f f. Указать области определения и области значений этих функций.

Решение.

(f g)(x) = g(f(x)) = , , (f g)(x) ³ 0;

(g f)(x) = f(g(x)) = 2 +1, , (g f)(x) ³ 1.

Композиция - некоммутативная операция,

f g(x)≠ g f(x).

Покажем, что для композиции справедлив закон ассоциативности.

Пусть f, g, h - три функции с согласованными областями определений и значений, так что их композицию можно найти. Тогда

(f g) h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x)))

f (g h)(x)= (g h)(f(x)) = h(g(f(x)))

Закон ассоциативности справедлив для любого числа функций. Та единственная функция, которая есть результат композиции функций f₁, f₂, f₃, … , f_n (в указанном порядке), так и обозначается:

f₁ f₂ f₃ … f_n.

Пример.

Найти все композиции функций f₁ = x², f₂ = sin(x), f₃ = x³ – 1

f₁ f₂ f₃ = (sin(x²))³– 1, f₁ f₃ f₂ = sin(x⁶ – 1), f₂ f₁ f₃ = sin⁶(x) – 1,

f₂ f₃ f₁ = (sin³(x)-1)², f₃ f₁ f₂ = sin(x³ – 1)², f₃ f₂ f₁ = sin²(x³ – 1).

Положим теперь, что f и g - биекции. Если z = f(x), то

– биекция. Если y = g(z), то z = – биекция. Выясним, какими свойствами обладает композиция биекций.

Утверждение.

Композиция взаимно однозначных функций – взаимно однозначная функция, при этом .

Доказательство.

1. в силу доказанного в лекции 1.4 свойства композиции всяких бинарных от ношений.

2. Допустим, что . Тогда g(f(x₁)) = g(f(x₂)) = y. В силувзаимной однозначности функции g f(x₁) = f(x₂). В силу взаимной однозначности функции f x₁ = x₂.

В заключение приведем ещё несколько примеров решения задач.

Пример 1.Пусть Х, Y – два множества, состоящие из n и m элементов соответственно. Какова мощность множества всех тотальных функций, определенных на Х, со значениями в Y?

Решение.Чтобы задать любую тотальную функцию нужно выполнить одно за другим и независимо одно от другого n действий: указать образ каждого элемента множества Х. Но каждое действие можно выполнить m способами Þ число функций равно mⁿ.

Пример 2. Доказать, что , где f – произвольная функция, и что равенство получается, когда инъекция. Привести пример строгого включения.

Решение.

1. и

и .

2. Если инъекция, условие однозначности выполнено также и для значений функции , по каждому значению однозначно определяется аргумент , значение которого равно .

,

, .

3. Если не инъекция, то множества аргументов могут вообще не пересекаться, а множества значений могут иметь не пустое пересечение. Положим . Тогда , , ,

.

Пример 3. Доказать, что .

Решение.

,

, .

, и

.

Замечание. Запись читается так: существует и единственен элемент .