Определение функции

Аргументы функции - элементы произвольной природы. В частности, они могут быть упорядоченными энками, . В этом случае функцию называют функцией переменных и пишут: . Функция двух переменных в некоторых случаях называется бинарной операцией.

Областью определения функции f называют множество ее аргументов (прообразов), . Если область определения совпадает с Х, то функция называется тотальной, в противном случае функция называется частично определенной.

Областью значений функции f называют множество ее значений (образов), Если область значений совпадает с множеством Y, функция называется сюръекцией или сюръективной.

О сюръективной функции говорят, что она отображает множество Х на множество Y.

Пример.

Определить, какие из приведенных бинарных отношений являются функциями.

1.{(1, 1),(1, 2),(2, 4),(3, 6)}; 2. {(1, 1),(2, 4),(3, 4)};

3.{(x, y)| x = y ², x, y Î R}; 4. {(x, y)| y = x², x, y Î R}.

Решение.

1. Это бинарное отношение, не функция, нарушено условие однозначности. В бинарное отношение входят две разные упорядоченные пары – (1, 2) и (1, 1) с одинаковым первым элементом.

2. Данное бинарное отношение – функция с областью определения {1, 2, 3} и множеством значений {1, 4}.

3. Отношение {(x, y)| x = y², x, y Î R} функцией не является. В него входят, например, упорядоченные пары (4, 2) и (4, -2).

4. Задана функция y = x². Значение у единственным образом определяется по значению аргумента х.

Определение. Функция называется инъективной или инъекцией, если . Другими словами, у каждого образа есть единственный прообраз.

Определение. Функция называется биективной или биекцией, если она одновременно инъективна и сюръективна. Биекцию по-другому называют взаимно однозначным соответствием между областью определения и областью значений; каждому элементу x из области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент y из области значений и наоборот, для каждого yÎY существует единственный xÎX.

Проиллюстрируем введенные определения.

Рис. 1. Бинарное отношение, Рис. 2. Сюръекция, но не

но не функция инъекция

Рис. 3. Инъекция, но не Рис. 4. Тотальная биекция

сюръекция

Так как функция – это бинарное отношение, можно построить обратное бинарное отношение , которое не обязательно является функцией. Условие однозначности может быть нарушено.

Пусть - тотальная биекция, тогда отношение также является тотальной биекцией.

Доказательство.

1. Докажем, что - функция.

Пусть

, т.к. функция f – инъекция (у каждого образа y есть единственный прообраз x).

2. – тотальна, = Y, т.к. f – сюръекция.

3. – сюръекция, т.к. f – тотальна.

Итак, если f – тотальная биекция, то все элементы множества X – прообразы (тотальность), а все элементы множества Y – образы (сюръекция). Тогда, по определению , все элементы множества Y становятся прообразами (тотальность), а элементы множества X становятся образами (сюръективность).

4. Докажем, что – инъекция. Допустим, что это не так, : . Но тогда - противоречие, так как f – функция.

Возьмем х R\{0}. По этому значению х однозначно определяется у = =1+2/x. Следовательно, f – тотальная функция.

Покажем, что f – биекция. Возьмем у R\{1}. Определим х по этому значению у, у = 1+2/x Þх = 2/(у - 1). Значение х вычисляется однозначно, f – тотальная биекция.

= {(у, х)| y = 1+2/x, x, y Î R, } =

= {(х, у)| y = 2/(х - 1), x, y Î R, }.

Пусть AÍX, тогда по определению . Множество называется образом множества А.

Пусть BÍY, тогда по определению . Множество называется прообразом множестваВ.

Пример.

Положим у = х². Найти образы множеств [0; 1]; [-2; 1); [-2; 2);

(-3; -1.5) (0; 2).

Найти прообразы множеств [0; 1]; [1; 4]; [0,01; 0,25].

Решение.f([0; 1]) = [0; 1]; f([-2; 1)) = [0; 4]; f([-2; 2)) = [0; 4]; f((-3; -1,5) (0,2)) = (0; 9); ([0; 1]) = [-1; 1]; ([1; 4]) = [-2; -1] [1; 2]; ([0,01; 0,25]) = [-0,5; -0,1] [0,1; 0,5].