Общие сведения

Многочлен с целочисленными степенями переменных (полином) в общем виде записывается так:

f(z)=a_n∙zⁿ+a_n-1∙z^n-1+…+a_n-k∙z^n-k+…+a₁∙z+a₀,

где a₀, a₁, …, a_k, …, a_n – заданные числа (в общем случае – комплексные), z – переменная (в общем случае – комплексная). Старший коэффициент a₀ в соответствии со здравым смыслом мы будем считать отличным от нуля.

Значения z, при подстановке которых полином обращается в нуль, называются корнями (или нулями) этого полинома, то есть корни полинома есть решения уравнения

f(z)=a_n∙zⁿ+a_n-1∙z^n-1+…+a_n-k∙z^n-k+…+a₁∙z+a₀=0

Это уравнение называют алгебраическим уравнением n-й степени.

При делении f(z) на двучлен (z–a) частное Q(z) будет многочленом (n–1)-й степени со старшим коэффициентом a₀, остаток R не будет содержать z, то есть имеет место тождество:

f(z)=(z–a)∙Q(z)+R

После подстановки в него z=a получим R=f(a) – остаток при делении полинома на (z–a) равен f(a) (теорема Безу). При делении без остатка (с нулевым остатком) f(a)=0, то есть z=a должно быть корнем полинома. Зная этот корень, можно выделить из полинома множитель
(z–a):

f(z)=(z–a)∙f₁(z),

где

f₁(z)=b_n-1∙z^n-1+b_n-2∙z^n-2+…+b₁∙z+b₀ (b_n-1=a₀)

и для нахождения остальных корней надо решить уравнение на один порядок ниже:

b_n-1∙z^n-1+b_n-2∙z^n-2+…+b₁∙z+b₀=0

В соответствии с основной теоремой алгебры, всякое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один вещественный или комплексный корень (например, z₁) и делится на (z–z₁), полином-частное тоже будет иметь корень и делится на (z–z₂) и т.д. – таким образом, всякий полином степени n разлагается на n+1 множителей, один из которых равен старшему коэффициенту, а остальные есть двучлены вида (z–a).

f(z)=a_n∙(z–z₁)∙(z–z₂)∙…∙(z–z_n)

Это разложение на множители единственно.

Среди корней полинома могут быть кратные – необходимым и достаточным условием того, что значение z=a является корнем кратности k является обращение в нуль при этом значении полинома и всех его производных до (k–1)-й включительно и необращение в нуль k-й производной. Корень кратности k некоторого полинома является корнем кратности (k–d) для d-й производной этого полинома, то есть если имеет место разложение полинома

f(z)=a_n∙(z–z₁)^k1∙(z–z₂)^k2∙…∙(z–z_m)^km,

где z₁, z₂,…z_m – различны и k1+k2+…+km=n, то разложение производной будет

f'(z)=(z–z₁)^k1-1∙(z–z₂))^k2-1∙…∙(z–z_m)^km-1∙w(z),

где w(z) –полином, уже не имеющий общих с f(z) корней.

Наибольший общий делитель двух полиномов есть произведение всех общих для них двучленных множителей с меньшими из двух вариантов показателями степени. Если полиномы не имеют общих корней, то они –взаимно-простые. Составление полинома – наибольшего общего делителя двух других полиномов можно выполнить известным в арифметике методом определения НОД двух целых чисел: полином со степенью не меньше степени второго делим на второй, затем второй делим на остаток при первом делении, этот первый остаток делим на остаток при втором делении и т.д. до получения нулевого остатка. Последний ненулевой остаток и есть НОД и если он не содержит z, то полиномы взаимно-простые. Разделив полином на его НОД и НОД его производной, получим полином, имеющий все простые корни, совпадающие с различными корнями исходного полинома –так можно освободиться от кратных корней без решения уравнения f(z)=0.