Мнимая единица i (или j) определена как число, которое дает -1 при возведении в квадрат и приводит к надмножеству действительных чисел – комплексным числам, имеющим действительную и мнимую части и в алгебраической форме (в декартовой системе координат) имеющим вид:
c=Re+Im∙i или c=a+b∙i
где Re, Im – вещественные числа, причем Re – вещественная, Im∙i (или Im∙j) – мнимая части комплексного числа.
В геометрической интерпретации в декартовой системе Re, Im – суть координаты точки на числовой плоскости с вещественной и мнимой осями или координаты конца вектора, проведенного в эту точку из начала координат.
Если использовать полярную систему координат, то получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:
a+b∙i=ρ∙(cosφ+i∙sinφ)
где ρ или r=sqrt(Re2+Im2) – модуль комплексного числа, φ=arctg(Im/Re) – его аргумент, то есть угол между радиус-вектором и вещественной осью.
Используется также показательная форма записи комплексного числа
c=r∙exp(i∙φ)
Два комплексных числа называют сопряженными, если они отличаются только знаками мнимых частей; на комплексной плоскости изображающие их точки размещены симметрично относительно вещественной оси, их модули равны, а аргументы имеют противоположные знаки.
