Задание 11

Даны: векторное поле и замкнутая

поверхность , составленная из поверхности второго порядка и плоскостей. Поверхность ограничена контуром ; – нормаль к поверхности , направленная вне замкнутой поверхности.

Найти:

поток векторного поля через поверхность , в направлении нормали ;

поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали к ее поверхности, непосредственно и применив теорему Остроградского;

циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру , непосредственно и применив теорему Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью . Сделать чертеж.

Замкнутая поверхность образована поверхностью второго порядка, указанной плоскостью, координатными плоскостями и расположена в первом октанте.

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , , ;

8) , , ;

9) , , ;

10) , , ;

11) , , ;

12) , , ;

13) , , ;

14) , , ;

15) , , ;

16) , , ;

17) , , ;

18) , , ;

19) , , ;

20) , , ;

21) , , ;

22) , , ;

23) , , ;

24) , , ;

25) , , ;

26) , , ;

27) , , ;

28) , , ;

29) , , ;

30) , , .

Задание 12

Даны векторное поле , поверхность второго порядка , отсеченная плоскостью P.

Найти:

поток вектора через внешнюю сторону боковой поверхности методом замыкания поверхности , применив теорему Гаусса-Остроградского;

циркуляцию вектора вдоль контура L, в положительном направлении полученного при пересечении поверхности с плоскостью P, применив теорему Стокса, и непосредственно.

1) , , ;

2) , , ,

3) , , ;

4) , , ,

5) , , ;

6) , , ,

7) , , ;

8) , ,
9) , , ;

10) , , ,

11) , , ;

12) , , ,

13) , , ;

14) , , ,

15) , , ;

16) , , ,

17) , , ;

18) , , ,

19) , , ;

20) , , ,

21) , , ;

22) , , ;

23) , , ;

24) , , ,

25) , , ;

26) , , у=1,

27) , , ;

28) , , ,

29) , , ;

30) , ,

Задание 13

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса найти поток векторного поля через полную поверхность тела (V) в направлении внешней нормали:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) ,

18) ,

19) ,

20) ,

21) ,

22) ,

23) ,

24) ,

25) ,

26) ,

27) ,

28) ,

29) ,

30) ,

Задание 14

Доказать, что поле потенциально, найти его потенциал и вычислить работу по перемещению материальной точки из в :

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , ;

6) , , ;

7) , , ;

8) , , ;

9) , , ;

10) , , ;

11) , , ;

12) , , ;

13) , , ;

14) , , ;

15) , , ;

16) , , ;

17) , , ;

18) , , ;

19) , , ;

20) , , ;

21) , ,

;

22) , , ;

23) , ;

24) , , ;

25) , ,

26) , ,

;

27) ;

28) , , ;

29) , , ;

30) , , .

Задание 15

Дано векторное поле в цилиндрических координатах. Вычислить , .

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .