Окружность

Задача 7.1.1. Составить уравнение окружности радиусом R с центром в точке .

Рис.7.1.

Окружность это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки — центра окружности.

Пусть M — произвольная точка, (x; y) —ее декартовы прямоугольные координаты

или

Уравнение (7.1.) является уравнением второй степени относительно x и y. Следовательно окружность есть кривая второго порядка.

Если Ю

Пример 7.1.1. Найти центр и радиус окружности определяемый уравнением:

Решение: Вычислим полный квадрат:

, , .

Эллипс

Определение 7.2.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами и равная 2а.

Обозначим и фокусы эллипса. Введем декартову систему координат так, чтобы ось x проходила через фокусы, а ось y делила отрезок пополам. Обозначим расстояние между отрезками через 2C. Тогда координаты точек и равны (-C;0) (C;0). Пусть M(x,y) произвольная точка эллипса (см. Рис.7.1.).

= -левый фокальный радиус.

= -правый фокальный радиус.

Отрезки [A₁ , A₂] длины 2a и [B₁ , B₂] длины 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Отрезок [F₁ , F₂] длины 2c называется фокусным расстоянием.

Рис.7.1.

По определению a>c

, , ,

подставляя, получим:

сократим на (–4)

уединим x и y

сгруппируем

, , .

Это возможно, т.к. , , .

(7.2.) — каноническое уравнение эллипса

Отношение называется эксцентриситетом и всегда меньше 1. Характеризует степень вытянутости эллипса. Чем больше , тем более вытянут эллипс. Тогда, чем меньше e , тем меньше малая ось эллипса отличается от его большой оси, и форма эллипса приближается к форме окружности радиусом R=a=b. В пределе при e=0 эллипс превращается в окружность.

При фокусы сливаются, радиусы становятся равными, следовательно в этом частном случае элипс есть окружность.

Расстояние от произвольной точки до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы x: , .

Две прямые и параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, равном называются директрисами эллипса. Их уравнения . Если фокусы эллипса расположены на оси oy , то уравнения эллипса имеют тот же вид (7.2.), но в этом случае и , а . Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид: .