Векторное произведение двух векторов

Определение 5.7.1. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) вектор перпендикулярен векторам и , т.е. ;

Рис. 5.6.

2) модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах и , как на сторонах, т.е. ;

3) упорядоченная тройка векторов( ) является правой. В определении предполагается что .

Свойства векторного произведения

1) При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак, сохраняя модуль.

— правая тройка

— левая тройка.

направлены противоположно

Рис.5.7.

2) Сочетательное свойство относительно скалярного множителя или векторное умножение ассоциативно относительно умножения на число, т.е.

3) Распределительное свойство или векторное умножение дистрибутивно относительно операции сложения векторов:

.

4) Если и , не равны нулю , то и коллинеарные вектора .

Для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нуль вектору.

5) Векторное произведение векторов :

a)	б)

в) .

6) Векторное произведение в координатной форме:

Пусть ,

Умножим применив третье свойство, а затем пятое:

.

Пример 5.7.1. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах и .

Решение:

кв. ед.

Пример 5.7.2. Сила P={2;-4;5} приложена к точке M₀(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки A(3;2;-1).

Решение: Момент силы P относительно точки A есть вектор . Найдем координаты : ={1;-4;4} и координаты вектора :

Контрольные вопросы и задания.

1. Дайте определение векторного произведения.

2. Перечислите свойства векторного произведения.

3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллениарный другому сомножителю.

4. Запишите условие коллениарности векторов.

5. Найдите единичный вектор , одновременно перпендикулярный вектору и оси абсцисс.