Понятие определителя.

Возьмем первые k принадлежащих множеству натуральных чисел (N).

1,2,…,k.

Эти числа могут быть выписаны в произвольном порядке.

Определение 1.4.1. Последовательность первых n-натуральных чисел, выписанных в некотором порядке называется перестановкой из первых n-натуральных чисел.

Пример1.4.1.: 5,2,1,4,3-перестановка из первых 5 натуральных чисел.

Определение 1.4.2. В перестановке a ,…,a два числа a и a образуют инверсию (σ), если большее из этих чисел стоит раньше, т.е. если a >a при i<j.

Например: 2,1,5,4,3.

=4, так как 2>1, 5>4, 5>3, 4>3.

Определение 1.4.3. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и снабженных знаком (-1) , где - число инверсий из номеров столбцов, при условии, что номера строк образуют натуральную перестановку, т.е.

Det A= = (-1)

где принадлежит . при i¹j.

Пользуясь определением найдем =

В этом случае перестановками являются 1,2=>σ=0; 2,1=>σ=1.

Поэтому =(-1) а а +(-1) а а =а а -а а ,

т.е. определитель равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов его побочной диагонали.

Если:

A=A = , то возможны перестановки:

1,2,3=>σ=0

1,3,2=>σ=1

2,1,3=>σ=1

2,3,1=>σ=2

3,2,1=>σ=3

3,1,2=>σ=2; поэтому, согласно определению имеем:

=(-1) a a a + (-1) a a a + (-1) a a a +

+(-1) a a a + (-1) a a a ++(-1) a a a = a a a + +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a , т.e.

получим известное правило Саррюса:

Пример: Допишем справа два первых столбца:

=1×3×2 + 2×4×2 +3(-1)×5 - 2×3×3 - 5×4×1 – 2(-1)×2 = s= -27

Однако пользоваться этим определением при больших n невозможно, т.к. число всех возможных перестановок из n принадлежащих N есть n!=1×2×3×…(n-1) ×n. Более эффективен метод вычисления определителя с использованием теоремы Лапласа.