Множества. Операции над множествами.

Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами или точками этого множества. Элементы множества предполагаются различными, т.е. отличными друг от друга, что позволяет выделить конкретный объект из имеющиеся совокупности.

Благодаря множествам математический язык стал проще и яснее, более конкретными стали его формулировки. При помощи множеств можно единым взглядом охватить самые сложные структуры. Множества лежат в самой основе современной математики; их можно применять везде.

Множества обозначают прописными буквами латинского или греческого алфавита, а элементы множества строчными. В том случае, когда объект считается элементом множества , то говорят, что принадлежит и обозначают как . В противном случае говорят, что не принадлежит и обозначают как (или ).

Понятие множества неявно предполагает существование разрешающего правила, которое позволяет различать его индивидуальные элементы, и однозначно интерпретировать отношения равенства (тождества) элементов или неравенства .

Пример. Следующие совокупности объектов являются множествами: А) Множество первых пяти простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11. Б) Множество натуральных чисел: 1, 2, 3, … . В) Множество букв, входящих в слово ЧИСЛО, состоит из пяти элементов: Ч, И, С, Л, О. Г) Множество действительных корней уравнения .

Для того, чтобы задать множество, нужно указать какие элементы ему принадлежат. Обычно это делают одним из следующих способов:

1. Призадании множества перечислением, обозначения элементов обычно заключают в фигурные скобки и разделяют запятыми, а порядок перечисляемых элементов считается несущественным. Но такая запись неудобна при описании множеств с большим количеством элементов (а теория множеств возникла именно в процессе изучения свойств множеств с большим (бесконечным) количеством элементов).

2. Формирование множества порождающей процедуройсводится к построению конкретных представителей множеств по определенной процедуре. Порождающая процедура строит объекты, которые являются элементами определяемого множества. Для обозначения множеств, заданных при помощи процедуры , используют запись: где символ | – обозначает «обладающий свойством», а – описание порождающей процедуры. Множество всех нечетных натуральных чисел с помощью порождающей процедуры можно записать следующим образом: , где – множество натуральных чисел.

3. Задание множества характеристическим условием.Пусть – некоторое условие, которое выражается в форме логического утверждения или процедуры, получающей значение true –истина (1) или false – ложь (0), в зависимости от различных значений . Если для данного элементы условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит. Множества, заданные при помощи характеристического условия обозначают: . Например, множество задано следующими характеристическими свойствами: его элементы есть натуральные числа, удовлетворяющие неравенству . Этому условию удовлетворяют числа 1, 2, 3 и только они. Следовательно, .

В зависимости от числа элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество называется конечным, если содержит конечное число элементов, в противном случае - бесконечным. Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов или вообще не содержать элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначаемого знаком Æ. Пустое множество единственно. Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество. Конечными являются множества, приведенные выше в примерах А), В), Г). Множество натуральных чисел из примера Б) является бесконечным. Бесконечным является также множество целых чисел , состоящее из всех целых положительных чисел, целых отрицательных чисел и числа нуль.

Расширение понятия множества и элементов множества привело к введению такого понятия, как универсальное множество (универсум) - это множество, содержащее все мыслимые объекты для данной задачи, обозначается как (от английского слова universal set или universe). Универсальное множество в каждом конкретном примере зависит от постановки задачи и определяется заранее, причем единственным образом.

Два множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пример. Доказать, что если и , то . Множество задано характеристическим свойством. Его элементы есть корни уравнения . Решая данное уравнение, найдем, что . Тогда по определению равенства множеств.

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является в тоже время элементом множества . Для обозначения подмножества используется знак Í: запись обозначает, что множество является подмножеством множества .

Пример. Пусть даны множества и . Очевидно, что множество является подмножеством множества , так как каждый элемент множества является элементом множества .

Из последнего определения вытекает, что любое множество является своим подмножеством, в том числе и пустое множество, т.е. , .

Если же и в содержится хотя бы один элемент, не принадлежащий , то называется истинным подмножеством множества , обозначается как .

Пустое множество является подмножеством каждого множества. Поскольку пустое множество, как множество, равноправно со всеми другими множествами, то оно имеет в качестве подмножества – самого себя.

Пример. Пусть – множество четных чисел, – множество целых чисел, –множество нечетных чисел. Тогда , , , .

Не надо смешивать отношение принадлежности (Î) и отношение включения (Í).

Пример. Пусть – множество, состоящее из одного элемента, – множество, состоящее из двух элементов, каждое из которых является одноэлементным множеством. Тогда имеют место следующие соотношения: , , .

Множество всех подмножеств данного множества называется множеством-степенью или булеаном и обозначается . Множество состоит из элементов.

Пример. Пусть множество состоит из двух элементов 1, 2. Тогда множество включает в себя пустое множество Æ, два одноэлементных множества {1} и {2} и само множество А = {1, 2}, т. е. . Мы видим, что множество состоит из четырех элементов ( ).

Пример. Пусть дано множество . Найдем множество . Оно содержит подмножества, состоящие из одного элемента: ; подмножества, состоящие из двух элементов: ; само множество и пустое множество Æ. Таким образом, множество содержит 8 элементов: .

Рассмотрим основные операции над множествами.

1. Объединением множеств и называется множество , все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множеств А или : . Из определения следует, что и . Аналогично определяется объединение нескольких множеств.

Пример. а) Пусть , . Тогда .

б) Пусть – множество чисел, которые делятся на 2, а – множество чисел, которые делятся на 3. Тогда множество чисел, которые делятся на 2 или на 3: .

2. Пересечением множеств и называется множество , все элементы которого являются элементами обоих множеств и : . Из определения следует, что , и . Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.

Пример. а) Пусть , . Тогда .

б) Пусть – множество чисел, которые делятся на 2, а – множество чисел, которые делятся на 3. Тогда множество чисел, которые делятся и на 2, и на 3: .

Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. Тогда говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.

Пример. Пусть , , . Тогда .

3. Разностью множества и называется множество , все элементы которого являются элементами множества , но не являются элементами множества : .

Пример.

а) Пусть , . Тогда , .

б) Пусть – множество чисел, которые делятся на 2, а – множество чисел, которые делятся на 3. Тогда множество чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3: . А множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2: .

4. Симметрической разностьюмножеств и называется множество : .

Пример.

а) Пусть , . Тогда , . Следовательно .

б) Пусть – множество чисел, которые делятся на 2, а – множество чисел, которые делятся на 3. Тогда , . Следовательно .

5. Абсолютным дополнением множества называется множество всех таких элементов , которые не принадлежат множеству : . Здесь – универсальное множество.

Пример. Пусть А – множество положительных четных чисел. Тогда, если U – множество всех натуральных чисел, то – множество положительных нечетных чисел.

Для наглядности изображения множеств и операций с ними используется представление множеств в виде геометрических фигур, например, кругов Эйлера. Предполагается, что все точки внутри контура являются элементами множества. Подобные схемы называются диаграммами Венна (Джон Венн (1834 – 1923) – английский логик), иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна.

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга (рис. 2.1)).

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.

Рис. 2.1

Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы алгебры множеств.

Например, , – формулы алгебры множеств.