Перевод чисел между системами счисления

Обычно приходится преобразовывать числа из некоторой системы счисления в десятичную или, наоборот, из десятичной системы в систему с другим основанием.

При переводе целых чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему применяют развернутую форму записи, представляя основание системы счисления и все цифры в десятичной системе. Полученное выражение вычисляют по правилам десятичной арифметики. В результате получится запись заданного числа в десятичной системе счисления. Например:

3Е,С8₁₆ = 3·16¹+ 14·16⁰+ 12·16^-1 + 8·16^-2 = 48 + 14 + 0,75 + 0,03125 =

= 62,7812510.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием р можно выполнить так.

Запишем основание новой системы р в десятичной системе счисления. Все последующие действия будем выполнять в десятичной системе.

Разделим исходное целое число на р. Запишем частное и остаток. Полученное частное снова разделим на р. Выполнять деление, выписывая все остатки, будем до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Каждый остаток представим в системе счисления с основанием р как цифру. Запишем цифры остатки в порядке их получения справа налево, от младших разрядов к старшим. Нулевые остатки не отбрасываются, а также записываются.

Полученное число является записью заданного числа в системе счисления с основанием р.

Например, запишем число 284510 в шестнадцатеричной системе счисления.

2845 = 16·177+13(D);

177=16·11+1(1);

11 = 16·0+11(В).

Частное стало равным нулю. Результат получится, если выписать все остатки в порядке, обратном их получению: 284510=B1D₁₆.

Перевод дробных чисел.

Дробная часть числа переводится в систему счисления с основанием р отдельно от целой части. Для перевода целой части используется уже рассмотренный способ.

Дробная часть числа в исходном десятичном виде умножается на основание новой системы счисления р. Целая часть получившегося числа (в том числе 0) является очередной цифрой в записи дробной части числа в новой системе счисления. Затем она отбрасывается, а действие повторяется. Конечная десятичная дробь может оказаться в новой системе счисления бесконечной (периодической). В этом случае операцию заканчивают, когда достигнута требуемая точность или определен период дроби.

Например, переведем дробь 0,6875 в восьмеричную систему счисления. Получаем:

0,6875·8 = 5,5;

0,5·8 = 4;

Итак, 0,687510=0,54₈.

Теперь выполним преобразование исходной десятичной дроби в систему счисления с основанием 5.

0,6875·5 = 3,4375;

0,4375·5 = 2,1875;

0,1875·5 = 0,9375;

0,9375·5 = 4,6875;

Дробная часть числа повторилась, а значит, дальше будут получаться те же цифры в такой же последовательности. Итак, 0,687510=0,(3204)₅. В скобки заключен период дроби.

Преобразовать периодическую дробь из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления можно так. Сначала преобразуем в десятичную систему число с отброшенной периодической частью. Затем займемся периодом. Если длина периода m цифр и он начинается с позиции k после запятой, то периодическая часть числа записывается в виде обыкновенной дроби, числитель которой совпадает с периодом дроби, а знаменатель равен p^k-1(p^m - 1).

Например, преобразуем в десятичную систему число 0,2(41)5. Промежуточные вычисления удобно записывать, используя обыкновенные дроби в десятичной системе. В данном случае 0,2 = . Далее, 41₅=4·5+1 = 21₁₀. По ука­занному выше правилу k = 2 и m = 2, так что знаменатель обыкновенной дроби, соответствующей периодической части заданного числа, равен

5^2-1(5²-1)=120. Таким образом, заданное число равно

+ = + = = 0,57510.

Окончателльно будем иметь: 0,2(41)5 = 0,57510.