Позиционные системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Системой счисления называется набор правил представления (изображения) и наименования чисел. Знаки, используемые для записи чисел, называют цифрами. Если значение, описываемое цифрой, зависит от ее положения в записи числа, система счисления называется позиционной. Положение цифры в записи числа в позиционной системе счисления называют разрядом.

Основание позиционной системы счисления — это множитель, который определяет изменение значения, описываемого цифрой, при переносе ее в следующий по старшинству разряд. Следующий по старшинству разряд располагается слева от данного.

Если основание системы счисления равно р, то систему счисления называют р-ичной (двоичной, троичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной и т. п.). Основание системы счисления совпадает с количеством разных цифр, используемых в ней для записи чисел.

В математике и в быту общепринята позиционная десятичная система счисления. Единица старшего разряда (например, в числе 10) соответствует десяти единицам младшего разряда. Запись чисел производится при помощи десяти разных цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

В системах счисления с основанием меньше десяти принято отбрасывать старшие цифры десятичной системы. Например, в системе счисления с основанием 7 используют цифры 0,1,2,3,4,5,6. Если основание системы счислёния больше десяти, недостаток цифр восполняют прописными буквами латинского алфавита. Например, в системе счисления с основанием 14 используют следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D. Цифры А, В, С, D соответствуют десятичным числам 10,11,12,13.

Так как знаки десятичной системы счисления общепринято использовать и в других системах счисления, основание часто указывают в виде нижнего индекса, например: 10₁₂, 3Е₁₆,145₆. В десятичной системе индекс обычно опускают.

Произнося вслух числа, записанные не в десятичной системе, цифры числа называют слева направо, не используя; слов «десять», «сто», «тысяча». Например, число 2117 произносят как «два — один — один семеричное», (но не «двести одиннадцать»). Точно так же поступают в случае дробей: 0,101₂ называют «ноль — запятая — один — ноль — один двоичное».

Развернутая форма записи числа

Запись произвольного целого числах вида (a_na_n-1a_n-2a_n-3..a₁a₀)_p в системе счисления с основанием р рассматривается как сокращенная запись вида:

х = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + a_n-2p^n-2 +...a₁p¹+a₀p⁰.

Запись такого вида называют развернутой формой записи. Например, десятичное число 21994 в развернутой форме может быть записано так:

21994 = 2·10⁴ + 1·10³ + 9·10² + 9·10¹ + 4 ·10⁰.

Если число не является целым, то первый разряд после запятой соответствует числителю дроби, знаменатель которой совпадает с основанием системы счисления. В развернутой форме число х вида (a_na_n-1a_n-2a_n-3…a₁a₀,a_-la_-2...a_-m)_p описывает многочлен:

x = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + a_n-2p^n-2 +...+a₁p¹+a₀p⁰ +a_-1p^-1 + + a_-mp^-m

Например, число 10,3810= 1·10¹ + 0·10⁰ + 3·10^-1 + 8·10^-2.