Элементы векторного поля.

Определение.Если каждой точке М области V поставлена в соответствие скалярная (векторная = ) величина, то говорят, что в области V задано скалярное (векторное) поле.

В декартовой системе координат задание скалярного поля равносильно заданию одной функции трех переменных: , а векторного поля — трех функций трех переменных: , где Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, г) — проекции вектора на соответствующие координатные оси. Предполагается, что функции

P (х, у, z), Q(x, у, z), R (х, у, z) являются непрерывно дифференцируемыми в области V.

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле . Возьмём точку и какой-нибудь луч l, из неё выходящий. Направление этого луча зададим углами , которые он образует с направлениями осей . Пусть точка лежит на луче l. Расстояние ММ₁ обозначим через .

Определение. Производной от функции по направлению вектора в точке М называется предел .

Абсолютная величина производной по направлению определяет величину скорости, а знак производной – характер изменения функции (возрастание или убывание).

Теорема. Если функция дифференцируема, то её производная по любому направлению существует и равна

,

где - направляющие косинусы вектора , т.ч.

Пример.Дана функция u = xyz. Найдём производную в точке М(5,1,2) в направлении, идущем к точке М₁(7,-1,3).

Найдём частные производные функции u:.

Вычислим их значения в точке М: ,,. .

Тогда - направляющие косинусы

Следовательно,

Определение. Градиентом скалярного поля u— называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т.е.

.

Производная по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

, т. е. наибольшее возможное значение производной функции в данной точке в направлении равно . Направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции.