Опр. Рангом r системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.
Опр. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.
В частности, любая совокупность п линейно независимых векторов п-мерного пространства является базисом.
Теорема. Любой вектор системы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса этой системы.
Док-во. Пусть система 
имеет базис 
.
1) Пусть вектор 
из базиса (например, это 
). Тогда 
.
2) Пусть вектор не из базиса. Например, это вектор 
, где р>к.
Рассмотрим систему 
.Она является линейно зависимой. Следовательно, найдутся числа 
, не все равные нулю, такие, что 
. Очевидно, что 
, т.к. в противном случае базис являлся бы линейно зависимым. Тогда
.
3) докажем, что разложение вектора по базису единственно.
Предположим противное: имеются два разложения вектора по базису:
и
.
Вычитая эти равенства, получим:
.
Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим:
, …, 
.
Следовательно, разложение единственно.▲
Ранг п-мерного пространства равен его размерности. Значит, любой его базис состоит из п линейно независимых п-мерных векторов. Любая система в п-мерном пространстве, содержащая больше, чем п векторов, линейно зависима. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.
