Теорема 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Док-во. Пусть, например, 
. Тогда равенство 
справедливо при с1=1, с2=с3=…=сп=0, т.е. при ненулевом коэффициенте с1. Значит, система линейно зависима.
Теорема 2. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
Док-во. Пусть, например, векторы 
линейно зависимы. Тогда в равенстве 
не все коэффициенты равны нулю. Но тогда при тех же коэффициентах и с1=0 будет справедливо и равенство 
. Система линейно зависима.
Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема также линейно независима.
Доказывается «от противного».
Теорема 3 (теорема Штейница). Если каждый из векторов 
является линейной комбинацией векторов 
и m>n, то система векторов линейно зависима.
Следствие. В любой системе п-мерных векторов не может быть более чем п линейно независимых.
Док-во. Каждый п-мерный вектор выражается в виде линейной комбинации п единичных векторов. Поэтому, если система содержит т векторов и т>п, то по теореме Штейница эта система линейно зависима.
Линейное пространство называется п-мерным, если в нем существуют п линейно независимых векторов, а любые п+1 векторов являются линейно зависимыми.
