Циркуляция. Ротор.

Рассмотрим векторное поле

F(P) = X(x,y,z) i+ Y(x,y,z) j + Z(x,y,z) k (1)

и замкнутый контур (L).

F(P) dr

F_s (L)

P

Рассмотрим интеграл

- циркуляция вектораF вдоль замкнутого контура (L).

Дадим другое выражение циркуляции. Рассмотрим векторdr = {dx, dy, dz}. Тогда

Циркуляция запишется

Ц = .

Физический смысл циркуляции. Если поле силовое, то циркуляция равна работе поля вдоль замкнутого контура (L).

Формула Стокса для контура (L) имеет вид

Здесь (S) – поверхность, натянутая на контур (L).

n₀

(S)

(L)

Поле вектора F порождает другое векторное поле – поле ротора.

Формула Стокса в векторном виде запишется

.

Поток ротора через поверхность (S), натянутую на замкнутый контур (L), равен циркуляции вектора F вдоль этого контура.

Направление обхода контура(L) должно быть согласовано с выбранным направлением нормали n₀, Если смотреть с конца вектора n₀, обход контура (L) должен казаться происходящим против часовой стрелки.

Если для данного векторного поля rot F = 0, то

= 0, но это означает, что существует функция u = u(x, y, z) такая, что du = X dx + Y dy +Z dz .Отсюда

т.е. поле вектора Fявляетсяполем градиента.

Функция u(x, y, z) называется потенциалом,а полевектора F называется потенциальным.

Очевидно, rot grad u = 0.

Примеры. Дана векторная функция F(x, y, z) = 20y i + 9y j + 12z k. Найти поток вектора

a) через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями координат и плоскостью (S) 12x + 3y – 4z -12 = 0 в направлении внешней нормали;

b) через грань (S).

c)

Р е ш е н и е.

a)

z

k dq

B y γ

A

x dx dy

n₀

C

b)

y

y = 4 – 4x

(D)

0 1 x

2. В условиях предыдущей задачи найти циркуляцию векторного поля F(x, y, z) вдоль линии пересечения плоскости (S) с координатными плоскостями двумя способами

a) по формуле Стокса, приняв в качестве поверхности, по которой производится интегрирование, плоскость треугольника, отсекаемого от плоскости (S) координатными плоскостями, при этом считать нормаль направленной в сторону противоположную началу координат;

b) непосредственно, по определению циркуляции.

Решение.

a)

= − 20 k.

По формуле Стокса

∙

c) Непосредственно, по определению циркуляции.

Оператор Гамильтона (1805−65, Англия).

Известно, что со скалярным полем u = u(x, y, z) связывается векторное поле – поле градиента

С векторным полем F(x, y, z) = связывается скалярное поле – поле дивергенции и векторное поле ротора.

Гамильтон заметил, что все эти операции могут быть записаны более просто, если ввести символ

Это − знак действия над полем, т.е. оператор. Этот оператор обладает как свойствами вектора, так и свойствами оператора дифференцирования.

«Умножение» т.е. воздействие оператора на скалярное поле u и на векторное поле F производится по следующим правилам

При действиях с оператором следует пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования. Например.

После применения оператора к полю получается новое поле (скалярное или векторное), на которое можно вновь воздействовать оператором . Повторное применение операции называется операцией второго порядка. Не все операции второго порядка имеют смысл. Например, не имеет смысла операция div(div F).

С помощью комбинаций операций grad, div и rot можно ввести пять операций второго порядка: div(grad u), rot(grad u), grad(divF), div(rotF), rot(rotF).

rot(grad u)= [ ∙ u] = 0,

div(gradu)= ( u) = ²u =