Проверочная работа «Векторное и смешанное произведение векторов»

Практика 10. Векторные и евклидовые пространства

Знать: определение n-мерного вектора и действия над ними, определение векторного, линейного и евклидового пространства, линейной комбинации векторов, линейно зависимых и линейно независимых векторов, n-мерного пространства и его размерности, скалярного произведения векторов и их нормы, базиса пространства, формулы перехода от старого базиса к новому и наоборот.

Уметь: доказывать, что данные векторы образуют базис, находить координаты вектора в данном базисе, находить связь между двумя базисами, вычислять скалярное произведение векторов и их норму.

Проверочная работа «Векторное и смешанное произведение векторов»

1 в.	1. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .	2. Найти объем пирамиды с вершинами А(0;0;1), В(2;3;5), С(6;2;3), D(3;7;2).
2 в.	1. Показать, что точки А(5;7;-2), В(3;1;-1), С(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной плоскости.	2. Найти площадь треугольника с вершинами А(1;-2;3), В(0;-1;2) и С(3;4;5).

Решение проверочной работы:

1 вариант
1. Ответ:	2. Ответ: 20
2 вариант
1. Ответ: точки А, В, С, D лежат в одной плоскости	2.

Работа в аудитории:

1. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе:
1.3.	1.4.	1.5.
2. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах:
2.3.	2.4.	2.5.
3. Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны
3.3. (1;-2;2;-3) и (2;-3;2;4)	3.4. (1;1;1;2) и (1;2;3;-3)	3.5. (-2;5;0;-3) и (1; -3;1;-6)
4. Проверить, что данные векторы составляют ортонормированный базис
4.3.	4.4.	4.5.
5. Может ли каждая из данных совокупностей векторов образовывать векторное или евклидовое пространство? В случае положительного ответа указать базис и размерность.
5.3. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из координатных осей ОХ или ОУ?	5.4. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?	5.5. Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой.

Решение:

1.3.

векторы образуют базис

Ответ: (1;2;3)

1.4.

векторы образуют базис

Ответ: (1;1;1)

1.5.

векторы образуют базис

Ответ: (0;2;1;2)

2.3.

векторы образуют базис

Ответ:

2.4.

векторы образуют базис

Ответ:

2.5.

образуют базис

Ответ:

3.3.

(1;-2;2;-3) и (2;-3;2;4) – ортогональны, если

Ответ: ортогональны

3.4.

(1;1;1;2) и (1;2;3;-3) – ортогональны, если

Ответ: ортогональны

3.5.

(-2;5;0;-3) и (1; -3;1;-6) – ортогональны, если

Ответ: не ортогональны

4.3.

- ортогональны, если

- нормированы, если

составляют базис, если

Ответ: составляют

4.4.

- попарно ортогональны, если

- нормированы, если

составляют базис, если

Ответ: составляют.

4.5.

- попарно ортогональны , если

- нормированы, если составляют базис, если Ответ: составляют.

5.3.

Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из координатных осей ОХ или ОУ?

Ответ: не могут образовать ни векторного, ни евклидового пространства, т.к. суммой таких векторов, являются векторы, не лежащие на координатных осях.

5.4.

Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?

Ответ: да, образуют векторное и евклидовое пространство, т.к. при сложении и умножении таких векторов будем получать вектора, лежащие на данной прямой, при этом будут выполнятся 8 свойств векторного пространства и 4 свойства евклидового пространства. Базис образуется одним единичным вектором, лежащим на данной прямой. Размерность построенного векторного пространства будет равна 1.

5.5.

Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой.

Ответ: да, образуют векторное и евклидовое пространство, т.к. при сложении и умножении таких векторов будем получать вектора, у которых первая и последняя координаты равны между собой, при этом будут выполнятся 8 свойств векторного пространства и 4 свойства евклидового пространства. Базис образуется n-1 единичным векторами . Размерность построенного векторного пространства будет равна n-1.