Классификация математических моделей

ММ классифицируются по следующим признакам:

· характер отображаемых свойств объекта;

· принадлежность к иерархическому уровню;

· степень детализации описания внутри одного уровня;

· способ получения модели.

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные. Различают структурные топологические и геометрические ММ. В топологических ММ отображают состав и взаимосвязи элементов объекта. Эти ММ чаще применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, например, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям или относительным моментам времени при разработке технологических процессов. В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении объектов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические модели могут выражаться, например, совокупностью уравнений линий и поверхностей. Функциональные математические модели предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении.

Использование блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ микро-, макро - и метауровня. Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичными ММ этого уровня являются дифференциальные уравнения в частных производных. В них независимым переменными являются пространственные координаты и время. ММ на макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Здесь ММ также представляются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов.

По способу представления свойств объектов функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические. Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних, т.е. имеют вид:

Y=F(X, Q), (3.3)

где Y=(y1,y2,...,ym) - вектор выходных параметров;

X=(x1,x2,..., xn) - вектор внутренних параметров;

Q=(q1,q2,..., ql) - вектор внешних параметров.

Аналитические модели характеризуются высокой экономичностью, однако их получение возможно лишь в частных случаях и, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих адекватность модели.

Алгоритмические модели выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма. Для получения моделей используют неформальные и формальные методы.

Неформальные методы используют на различных иерархических уровнях для получения ММ элементов. Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.