Ковариационные функции дифференцируемых полей

На практике часто пользуются не самими значениями наблюдаемых полей, а величинами, полученными путем применения к ним тех или иных преобразований. Во многих случаях характеристики структуры вновь полученных полей можно оценить теоретически по данным о статистической структуре исходных полей. Особенно часто такие расчеты производятся тогда, когда речь идет о линейных преобразованиях исходных полей. При этом ковариационные функции преобразованного поля, например, могут быть получены путем повторного применения этих линейных преобразований к ковариационной функции исходного поля. Например, поле геострофического ветра может быть получено по характеристикам статистической структуры поля геопотенциала.

Пусть нас интересуют производные от двумерного поля f(x, y)

, (51)

. (52)

Для ковариационных функций этих производных можно получить следующие формулы

, (53)

. (54)

Дисперсия величины F в точке может быть получена из (37) путем предельного перехода, если устремить к . При этом предполагается, что соответствующий предел существует.

Взаимная ковариационная функция f и F_x или F_y определяется формулами

, (55)

. (56)

Для однородных и изотропных полей расчет ковариационных функций производных существенно упрощается. Рассмотрим подробнее этот случай на примере первой производной в направлении оси х, т. е. для F_x. Поскольку для таких полей R_f= R_f(ρ), получаем

;

. (57)

Учитывая, что имеем

;

. (58)

В результате получаем

. (59)

Аналогично получаются формулы для ковариационной функции производной F_y

(60)

Для взаимной ковариационной функции производных F_x и F_y получим

(61)

Из формул (59) - (60) видно, что поля производных от однородного и изотропного поля также являются однородными. Однако они не являются изотропными, поскольку корреляция их существенно зависит от направления (входящие в формулы величины и представляют собой косинусы углов между вектором расстояния ρ и направлениями, в которых берутся производные). Нетрудно видеть, однако, что векторное поле градиента однородной и изотропной величины f будет также однородным и изотропным в том смысле, как это определено формулой (43).

Устремляя в (59) или (60) расстояние ρ к нулю, получаем формулу для оценки дисперсии первой производной. Очевидно, что она не должна зависеть от направления, что возможно лишь в случае, если второе слагаемое в (59)-(60) будет равно 0, т.е. при условии

, (62)

или в случае

. (63)

Тогда из (59) и (60) получаем

. (64)

Формулы (63) и (64) показывают, что корреляционные функции дифференцируемого скалярного поля должны удовлетворять определенным условиям. Именно первая производная от них при ρ = 0 должна обращаться в нуль, вторая производная от них должна при ρ = 0 существовать и быть отрицательной, поскольку .Аналогично можно показать, что корреляционная функция дважды дифференцируемого поля должна быть четырежды дифференцируемой, а первая и третья производные от нее при ρ = 0 обращаются в нуль и т. д. Если эти условия не выполняются, то исходное случайное поле не имеет соответствующих производных.

Указанные условия налагают дополнительные ограничения на класс функций, которые могут использоваться для аппроксимации пространственных корреляционных функций случайных полей. Обычно при аппроксимации корреляционных функций указанные ограничения не принимаются во внимание. Это, как правило, не приводит к существенным ошибкам при решении большинства задач. Однако в случае, если корреляционные функции используются при анализе дифференциальных характеристик поля, учет этих ограничений совершенно необходим. Если одновременно используются данные о структуре полей, связанных между собой некоторыми дифференциальными соотношениями (например, данные о структуре геопотенциала и ветра), следует убедиться, выполняются ли для этих данных соотношения типа (59), (60).

Из сравнения формул (43), (59) и (60) можно видеть, что для потенциального векторногополя,т. е. такого, что , продольная и поперечная ковариационные функции описываются формулами

. (64)

а связь между ними дается соотношением (46), являющимся следствием (64).