Векторные случайные поля

Пространственные векторные случайные поля можно рассматривать как совокупность трех скалярных полей их составляющих. Следовательно, векторное поле можно характеризовать тремя ковариационнымифункциями составляющих векторного поля и шестью взаимными ковариационными функциями.

В случае, если изучается статистическая структура поля ветра, то для ее описания можно использовать 2 ковариационные и 2 взаимные ковариационные функции.

Описание структуры векторных полей существенно упрощается, если использовать гипотезу об однородности и изотропии векторныхполей. Обозначим вектор скорости через , а вектор ветра как .

Для однородного и изотропного векторного поля

. (37)

Доказательство: для однородного поля является постоянным вектором, а условие изотропии предполагает, что этот вектор не должен меняться при вращениях, следовательно, он должен быть нулевым.

В отличие от скалярных полей двухточечные статистические характеристики однородного и изотропного векторного поля зависят не только от расстояния между точками, но и от ориентации вектора расстояния относительно коррелируемых векторов.

Выберем систему координат x₁0x₂x₃, как показано на рис. 5, и предположим, что первая точка расположена в начале координат, а вторая находится от нее на расстоянии от начала координат.

Рис. 5

Повернем эту систему координат на 180° относительно оси х₁, тогда, учитывая, что направления координатных осей x₂и x₃ сменятся на противоположные, получим

, (38)

следовательно,

. (39)

Выполняя аналогичные вращения относительно других координатных осей, получим, что взаимные ковариационные функции равны нулю. Отличны от нуля будут только автоковариационные функции составляющих вектора в направлении линии, соединяющей рассматриваемые точки, и в направлении, перпендикулярном ему. Эти ковариационные функции называются соответственно продольной и поперечнойковариационными функциями векторного поля (G(ρ), F(ρ)).

В общем случае взаимная ковариационная функция векторного поля может быть выражена через продольную и поперечную ковариационные функции при помощи следующих соотношений (на примере составляющих вектора ветра в координатной плоскости x0y)

, (40)

, (41)

. (42)

Смысл функций G(ρ), F(ρ) легко выясняется из рисунка.

Рис. 6. Продольная и поперечная функции

Функция G(ρ) совпадает с ковариационной функцией составляющих вектора ветра в направлении линии, соединяющей рассматриваемые точки (i, j). Функция F(ρ) совпадает с ковариационной функцией составляющих вектора в направлениях, перпендикулярных этой линии.

Формулы (40)–(42) можно объединить в следующее выражение

, (43)

где

– символ Кронекера.

Здесь k и p обозначают индексы координатных осей, а i, j – номера рассматриваемых точек.

При использовании данных о структуре векторных полей необходимо иметь в виду, что ковариационные функции различных их составляющих связаны между собой. Любое однородное и изотропное векторное поле может быть представлено в виде суммы однородных и изотропных потенциального и соленоидального полей

. (44)

Поля и между собой не коррелированны.

Для двумерного соленоидального поля (т. е. такого, двумерная дивергенция которого равна нулю) справедливо соотношение

. (45)

Связь между продольной и поперечной ковариационными функциямипотенциального поля дается выведенным А. М. Обуховым соотношением

. (46)

Из (44) следует, что продольная и поперечная ковариационные функции векторного поля представляют собой суммы соответствующих функций для его составляющих

,

. (47)

Решая систему уравнений (45)-(47), можно по данным о структуре однородного и изотропного векторного поля определить статистическую структуру его потенциальной и соленоидальной составляющих, не прибегая к выделению этих составляющих из исходного поля.

Продольную и поперечную функции можно использовать также для определения статистической структуры зональной (u) и меридиональной (v) составляющих поля ветра. В этом случае связь между ними запишется следующим образом

,

. (48)

Взаимная ковариационная функция зональной и меридиональной составляющих также может быть определена через продольную и поперечную функции

. (49)

Ковариационная функция вектора ветра может быть выражена через продольную и поперечную ковариационные функции или через ковариационные функции зональной и меридиональной составляющих ветра следующим образом

. (50)

Здесь α –угол между направлением отрезка, соединяющего 2 точки и осью x, совпадающей с направлением касательной к кругу широты и направленной на восток.