Дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля

Если известно распределение потенциала, т. е. его значение в каждой точке поля, то можно найти напряженность этого поля в каждой точке.

Рассмотрим в однородном поле две точки 1 и 2 и предположим, что заряд +1 из точки 1 переходит в точку 2 вдоль отрезка .

(1)

– проекция напряженности Е на направлении .

Введем теперь приращение потенциала при перемещении , т. е. разность потенциалов в точке 2 и точке 1 и будем обозначать его просто , тогда

(2)

(3) (3.а)

Физический смысл выражения следующий: напряженность поля измеряется уменьшение потенциала, приходящееся на единицу длины вдоль линии напряженности.

Связь между напряженностью поля и потенциалом можно выразить с помощью понятия градиента потенциала. Градиентом любой скалярный величины φ в векторном анализе называют вектор, направление которого совпадает с направлением быстрейшего увеличения величины φ. Величина же этого вектора равна изменению φ при перемещении на единицу длины в направлении быстрейшего изменения.

Введем единичный вектор , совпадающий с направлением линии напряженности, тогда векторное значение Е выражается:

,

т. е. напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком:

E = - grad φ

В случае неоднородного поля имеем

Составляющие вектора напряженности по осям прямоугольной системы координат равен:

При этом модуль вектора напряженности:

ед. СГСЕ напр.

Вывод: распределение потенциалов в пространстве однозначно определяет поле вектора . В этом смысле электростатическое поле часто называют потенциальным полем, понимая под этим, что скалярная функция u однозначно определяет векторное поле напряженности. Одним из характерных свойств потенциального поля является равенство нулю циркуляции напряженности этого поля.