Теорема Остроградского-Гаусса

Вычисление электрического поля упрощаются при применении теоремы Остроградского-Гаусса.

Введем понятие электрического смещения или электрической индукции.

Введем понятие потока вектора электрического смещения.

Рассмотрим в электрическом поле плоскую поверхность S и выберем определенное направление нормали n к ней.

Считаем, что поле однородно, но составляет произвольный α с направлением нормали.

N=SDcos α=SDn(1)-называют потоком вектора электрического смещения через данную поверхность.

Если поле неоднородно и поверхность, через которую разыскивают поток, не является плоской, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы dS и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому dN=DпdS.

Полный поток электрического смещения через поверхность S в любом неоднородном электрическом поле

N=

Поток электрического смещения, определяющий число проходящих линий смещения, есть скаляр.

N>0, если cos α>0, N<0, если cos α<0.

Теорема Гаусса

Рассмотрим точечный заряд q и вычислим поток электрического смещения через поверхность S, окружающую этот заряд. За положительное направление нормали выберем направление внешней нормали.

Результат справедлив не только для сферической поверхности, но и для любой замкнутой поверхности и для любого расположения заряда.

N не зависит от радиуса сферы.

Линии смещения в пространстве S и S₁, где не имеется зарядов непрерывны. Линии электрического смещения начинаются и заканчиваются только на электрических зарядах.

(2)

Формула (2) – поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряд, то поток через эту поверхность равен нулю, т. к. число линий индукции, входящих через поверхность, равно числу линий индукции, выходящих через нее.

Приложения теоремы Остроградского-Гаусса.

1. Равномерно заряженная плоскость.

Вследствие симметрии эти линии должны идти перпендикулярно к плоскости и при том в обе стороны с одинаковой густотой.

; ; ; .

2. Поле двух бесконечных параллельных плоскостей, заряженных разноименно.

3. Поле равномерно заряженного цилиндра.

Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

Теорема Остроградского-Гаусса связывает значение электрического смещения в точках некоторой замкнутой поверхности с величиной заряда, находящегося внутри объема, ограниченного этой поверхностью, т. е. связывает величины, относящиеся к разным точкам поля.

Точка а(x; y; z)→D(D_x; D_y; D_z)

Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед с вершиной в точке а и ребрами dx, dy, dz параллельный осям координат.

Поток через грань dy, dz есть -D_x dy dz. Знак минус входит потому, что внешняя нормаль к dy dz и положительное направление D_x составляет <α=π; cos π=-1. Поток через параллельную ей грань, смещенную вдоль Х на dx есть . Поэтому поток через обе ее грани равен

,

– общий поток через всю поверхность параллелепипеда.

; – уравнение Пуассона

; →