Смешанным произведением векторов 
называется число 
, равное скалярному произведению вектора 
на вектор 
:
.
Свойства смешанного произведения векторов:
1. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из векторов равен 
, или все три вектора параллельны одной плоскости (компланарны).
2. 
.
3. Смешанное произведение некомпланарных ненулевых векторов , по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на векторах .
Пусть 
, 
, 
.
Смешанное произведение в координатной форме имеет вид:
.
Докажем это утверждение.
Так как 
то, используя формулу для скалярного произведения, получим
Полученное выражение является разложением определителя третьего порядка по элементам третьей строки:
Условие компланарности векторов :
Пример.
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах :
, 
, 
.
Решение.
.
, откуда окончательно имеем 
.
