Метричні простори

Одною із фундаментальних характеристик взаємного розміщення точок множини є відстань між ними.

Означення.4 Нехай Е – довільна множина. Відображення називається метрикою, якщо виконуються аксіоми:

1)

2) (анеліна симетрія);

3) (нерівність трикутника).

Упорядкована пара називається метричним простором.

Наприклад: аксіома 3):

Всякий нормованій векторний простір є метричним, якщо метрика

Означення.5 Нехай метричний простір, Точка називається границею послідовності , якщо і записується

Послідовність точок метричного простору, яка має границю, називається збіжною.

Види множин простору

У теорії метричних просторів використовується мова класичної геометрії. Нехай - метричний простір,

Означення.6 Множина називається відкритою кулею радіуса з центром у т. , а також околом точки

Означення.7Множина називається замкненою кулею радіуса з центром у т.

Означення.8 Множина називається сферою радіуса з центром у точці .

Означення.9 - метричний простір, А та В дві не порожні множини. Додатне число називається відстанню від А до В.

Означення.10 Діаметром множини А називається число

Означення.11 - метричний простір, не порожня множина. Якщо діаметр множини А – скінченний, то вона називається обмеженою.

Означення.12 Відкритою множиною в метричному просторі називається підмножина , яка має властивість:

Означення.13 Множина називається замкненою, якщо її доповнення є відкритою множиною (всі граничні точки множини належать самій множині).

Означення.14 Точка називається граничною точкою множини , якщо з неї можна виділити послідовність різних точок, збіжних до за метрикою простору

Означення.15 Множина називається компактною в просторі якщо будь-яка послідовність елементів з К містить збіжну підпослідовність. Якщо їх границі належать множині К, то вона називається компактом (будь-яка обмежена в просторі множина – компактна).