Нехай К- поле, K=R або K=C. Векторним (лінійним) простором над полем К називається впорядкована трійка (E,+,•), яка складається з множини E,елементи якої називаються векторами, операції додавання, та операції множення на елементи (числа) поля К.
Вказані операції повинні мати властивості, які називаються аксіомами векторного простору: 
1)x+y=y+x;
2)(x+y)+z=x+(y+z) - комутативність;
3) 
- 
0-вектора;
4) 
- протилежного вектора;
5) 
6) 
7) 
Для спрощення записів замість трійки (E,+,•) користуються векторним простором Е, вважаючи його дійсним, коли К = R , і комплексним, коли K=C. У довільному векторному просторі Е виконуються такі властивості:
1) 
;
2) 
;
3) (-1)x= -х.
Дійсно, із аксіоми 5) 
при 
При 
(-1)x=-x; 
, при 
Е=R – векторний простір над R, очевидно, що поле R є векторний простір над цим полем.
- , м-мірний координатний простір ,кожна точка якого - упорядкований набір з m дійсних чисел 
.
Покладемо 
;
Для цих операцій виконуються аксіоми 1-7.
Вектори 
називаються точками простору 
і позначають т. 
( 
- троьхвимірний простір).
