Проекция вектора на ось.

Основные определения.

Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось.

Линейная зависимость векторов.

Понятия базиса. Аффинные координаты.

Скалярное произведение векторов.

Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов.

Компьютерное практическое задание №2.

Индивидуальныезадания

Литература.

Термин «вектор» - ввел У. Гамильтон (1845); обозначение - Ж. Артан (1806); - А. Мебиус.

1. Основные определения.

Определение 1. Векторомназывается направленный отрезок прямой, у которого один конец называется началом вектора,а другой конец – концом вектора.

Такие вектора называются свободными. Обозначаются вектора: , , .

Из определения (1) следует, что вектор характеризуется:

1. модулем, или длиной, который равен длине отрезка АВ и обозначается: .

2. направлением;

3. линией действия.

Определение 2. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обозначается .

Определение 3. Вектор называется противоположным вектору .

Определение 4. Вектор единичной длины называется. единичным, или ортом, и обозначается: .

Определение 5. Два вектора называются коллинеарными,если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение 6. Вектора называются компланарными,если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение 7. Два вектора называютсяравными, если они коллинеарны, имеют равные модули и одинаково направлены.

2. Линейные операции над векторами.

Определение 8. Суммой двух векторов и называется вектор , идущий из начала первого вектора в конец второго вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Свойства операции сложения:

1) коммутативность (или переместительный закон) + = + .

2) ассоциативность (или сочетательный закон) ( + ) + = + ( + )

3) существование нулевого вектора + 0 =

4) существование противоположного вектора + (- ) = 0

Определение 9. Произведением ненулевого вектора на число называется вектор , модуль которого , и направленный так же, как вектор , если > 0; и противоположно вектору , если < 0.

Свойства операции умножения вектора на число:

1) дистрибутивность относительно сложения векторов

× ( + ) = × + ×

2) дистрибутивность относительно сложения чисел

( + ) × = × + ×

3) ассоциативность × ( ) = × ( ) = ( × ) ×

4) умножения на 1 1 × =

Определение 10. Множество всех векторов с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство.

Проекция вектора на ось.

Определение 11. Векторной проекцией вектора на ось Ox называется вектор , где А₁ и В₁ соответственно проекции начала и конца .

В

А

0 А₁ В₁ х

Определение 12. Cкалярной проекцией на ось Ох называется длина вектора , взятая со знаком «+», если направление совпадает с направлением оси Ох, и со знаком «-«, если направление и оси Ох противоположны.

Теорема 1. Проекция вектора на ось Ох равна произведению модуля на косинус угла между вектором и осью Ох.

Теорема 2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых на ось. ПР_Ох( + +¼ + ) = ПР_Ох + ПР_Ох +¼ + ПР_Ох