Решая систему, находим Р, затем все С и проверяем систему на качество управления.
§. Методы описания систем управления.
1. Представление системы в форме дифференциальных уравнений
А(р)хвых = В(р)хвых
2. В форме пространства состояний.
.
х = Ах + BV Y = cx
3. В форме ПФ и постоянных W(s), W(jw).
Анализ устойчивости q (1-го случая наиболее просто решается с помощью критерия Гаусса; качество управления проверяется с помощью частотной характеристики или ПФ).
B(s) B(jw) a+jb (a+jb)(c-jd)
W(s) = ¾¾¾ Þ W(jw) = ¾¾¾ = ¾¾ = ¾¾¾¾¾ =
A(s) A(jw) c+jd c2+d2
ar + bd br - ad
= ¾¾¾¾ + j ¾¾¾ = A(w) +j B(w)
c2 + d2 c2 + d2
____________
A(w)=ÖA2(w)+B2(w) - AЧХ
B(w)
j(w)=arctg ¾¾ - ФЧХ
A(w)
да нет
В(w) = 0
j = arctg B(w)/A(w) + p
j = arctg B(w)/A(w)
Анализ систем, описанных в области
пространстве состояния.
.
х = Аx + Bxbx – замкнутая система.
А – матрица, определяющая устойчивость системы.
. Аºа
х = Ах+Bcx=(A+Bc)x
A
В настоящее время анализ устойчивости по матрице А проводится одним из способов:
1) С помощью алгоритма Данилевского.
2) Или Лаурье – Фадеева.
Матрицы А в полиномную форму и в дальнейшем применяется критерий Гаусса.
Далее алгоритмы оформляются в качестве стандартных программ.
Но им присущи следующие недостатки:
В Данилевском: необходимо предусмотреть случай выраженя частных определителей системы, благодаря чему программа получается сложной и требует больших вычислений.
В Лаурье – Фадеева: этот алгоритм прост, но он имеет быструю накапливающиюся ошибку, что в силу ограничения разрядной сетки ЭВМ, делает его пригодным для систем не выше 6-9 порядка.
В связи со сказанным был предложен метод анализа устойчивости без построения характерного полинома системы, который в общем случае устанавливает достаточное условие устойчивости системы.
Пример:
А(р)=0
Необходимое условие устойчивости: все коэффициенты этого полинома должны быть положительные.
Достоточное необходимое условие: если коэффициент положителен и удовлетворяет условию, то система устойчива.
Если не удовлетворяется, то не устойчива.
Достаточный критерий устойчивости.
.
Дано уравнение: х = Аy
По этому уравнению надо судить, устойчива система или нет.
B=E+r(A-E)-1
Строится матрица B и смотрится предел:
lim Bk Þ 0
k®¥
Если lim стремится к нулевой матрице, то система устойчива. Если lim не стремится к нулевой матрице, то система неизвестно устойчива или нет. Если любой элемент матрицы |bij|k<1/n; то предел стремится к нулю.
Пример:
х1=0,9х1+3,1х2+0,2х3 0,9 3,1 0,2
х2=-0,4х1+2,5х2+3,2х3 ; А = -0,4 -2,5 3,2
х3=-1,1х1-1,5х2-3,1х3 -1,1 1,5 -3,1
n=3
-0,212 -0,828 -0,584
[B]2= -0,114 -0,490 -0,390
-0,218 -0,036 0,498
0,0524 -0,1031 0,17
[B]4= 0,0515 -0,0642 -0,226
-0,0297 0,1186 -0,0963
система устойчива т. к. ½bij½4<1/3
Недостаток:
1. Этот метод носит только достаточный характер.
2. Операция обращения матрицы достаточно сложна.
Часто можно использовать следующие формулы:
[E-A]-1=E+A+A2+...+Am, т. е. матрицу представить в форме ряда.
Точность вычислений обратной матрицы будет зависеть от количества членов ряда, которые определяются быстротой сходимости ряда, т. е. данная операция может быть осуществлена, когда ряд быстро сходится.
Если любая из норм матрицы [B] ½½B½½II£1,
то lim [B]>0, т. е. система устойчива.
Если любая из норм матрицы [B] ½½B½½II£1
то lim[B]>0, т. е. система устойчива
n
½½В½½II=maxS½bij½
i=1
1. Если все нормы больше 1, то ничего об устойчивости системы мы сказать не можем.
2. Если следующая матрица [B] SрВ³n, то система неустойчива.
Следующие матрицы – это S валентно диагностических элементов
если SpB<n, то ничего сказать нельзя, следовательно:
½½В½½>1 Þ SpB<n
½½B½½2>1ÞSpB2<n
½½B½½m>SpBm<n
Вывод: рассмотренные матричные методы анализа устойчивости позволяют в несколько раз снизить время расчёта по сравнению с алгоритмом Данилевского.
§. Алгоритм построения обратной матрицы.
АА-1=Е
1. Каждый элемент нахождения матрицы А заменяется его алгебрарическим дополнением.
2. Полученная матрица транспонируется.
3. Транспонированная матрица делится на определитель исходной матрицы.
а11 а12 а22 -а21 а22 -а12
Þ Þ = А-1 (обратная матрица)
а21 а22 -а12 а11 -а21 а11
_________
а11а22-а12а21
Это всё делается на компьютере с помощью стандартных подпрограмм.
§. Построение частотных характеристик.
.
Дано уравнение: х = Ах + ВV
Преобразование Лапласса: Дана функция h(t)
f
h(t)Þ ò f(t) est dt = f(s)
противотов получ
h(t) = L [ f(t) ]
f(s) – изображение по Лаплассу функции f(t)
.
f(t) [-f(t)] Þ sf(s)-f(0)
s-конечное число.
Частотные характеристики строятся при нулевых начальных условиях.
По Лаплассу на уравнение:
S(s)=Ax(s)+BV(s) V=Cтx
(se-A)x(s)=BV(s)
x(s) – вектор выходной фазовой координаты, взятой по изображению Лапласа.
X(s)=(sE-A)-1BV(s)
X(s)
¾¾ = (sE-A)-1 * BV(s)
V(s)
Чтобы построить частотную характеристику, надо S заменить на jw.
В результате получим вектор-столбец
______
А1+jb1 АЧХ: Öаi2+bi2=Ai
A2+jb2 ФЧХ: arctg bi/ai=ji
. .
. .
an+jbn
A(w) 2
1
w
AЧХ показывает качество управления: показатель колебательности не должен превышать 1,2,, т. е. M<1,2.
Показатель колебательности является необходимым условием устойчивости, но не достаточен (систему надо проверять на устойчивость).
§. Построение переходных процессов на ЭВМ.
Построение переходных фаз является положительным этапом при проектировании системы переходного процесса.
ПФ – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.
Переходный процесс – реакция системы на входную функцию.
Переходный процесс более обратимое понятие, чем ПФ.
В натоящее время разработано достаточно эффективные методы, численного интегрирования. Наиболее распространённо получаем методы Рунге – Кутта 4 – го порядка.
Х=f1(x1...xn1(t))
Х=f2(x1...xn1t)
.
.
Хn-1=fn(x1...xn1t)
Следует учитывать, что для методов РК характерны следующие ошибки:
1) Ошибка, связанная с шагом интегрирования x£(Bt)4
Dt-шаг интегрированя.
2) Ошибка, связанная с положением (полиномные ошибки).
Для характеристики практически во всех моментов методов расчёта.
Здесь мы учли все начальные условия. Обратимся к уравнению во временной области при нулевых начальных условиях.
n-1
A(p)хвых=В(р)хвх+SА(р)р1(t) (++)
i=1
Изображение по Лапласу функции 1(t): L[1(t)]=1/s
Единичная функция
К 1(t)
Если сравнивать (*) и (++), то убедимся, что изображения по Лапласу выходной величины, будет совпадать, следовательно в силу единственности преобразования Лапласа, данные выходные функции будут совпадать.
Если хвх и 1(t) b(++) представляются в форме тригонометрического ряда, то выходная функция может быть найдена как совокупность частных решений.
Вывод: мы заменили рассмотрение дифференциальных уравнений при ненулевых начальных условиях на рассмотрение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях.
Если в уравнение (2) подставить хвых, хвх и 1(t), в форме тригонометрических гармоник, и сравнить все полиномы при одинаковых формулах времени, мы получим систему алгебраических уравнений.
Ах=В, где [x]=[a1, a2, ... ,an]
Пример:
(р3+Q1p2+Q2p+Q3)хвых=0 (1)
.
x(0)=x0; х(0)=0 ... хn-1(0)=0
Условие: хвых=А0+SАк cos+SBk sin
x
x0
2
t
ty
1– управление.
2 - управление собственным движением системы (1 случай).
(Есть многомерное отклонение, необходимо вернуться на заданную траекторию по определённому закону).
(1) Представляется в форме: (т.к. у (1) и (2) – одинаковое изображение по Лапласу).
да нет
х1=0,9х1+3,1х2+0,2х3 0,9 3,1 0,2
а11 а12 а22 -а21 а22 -а12
A(w) 2
1
Х=f1(x1...xn1(t))
+...+am b0p+bm
x
x0
2
t
a) -w2B1; -А1w-x0Д1; В1 Q1
б) -w2A1-x0Д1;В1w ; A1 Q1
xз кп х
Дв Y
вынужденное движение
свободное движение
X1k
.