1) Частные методы не могут учитывать ограничения на управление и фазовые координаты объекта, а
2) Также те вычислительные трудности, характерные для систем большой размерности.
Другим обширным методом является модальный синтез управления
В основе модального принципа лежит следующее утверждение:
.
х=Ах+ВV (1)
Если дан объект (1) и задан закон с обратной связью V=Cx, то всгда можно подобрать обратную связь таким образом, чтобы характеристический полином
.
х = Ах+ВСх = (А+ВС)х det(A+BC)
всегда имел необходимый спектр, чтобы нормы характеристического полинома замкнутой системы были в нужном месте.
Недостаток: для своей реализации требует n корректирующих средств, где n – порядок дифференциального уравнения.
Невозможно использовать метод для нелинейных систем и систем с ограничениями.
В настоящее время наиболее перспективными являются методы синтеза на основе концепции обратных задач динамики.
T
J = ò (Y0(t)-Y(t))2dt (1)
f(t) Y(t) 0
W(p)
При этом задача синтеза ставится:
задано дифференциальное уравнение W(p), известен входной процесс f(t), задан эталонный процесс Y0(t).
Необходимо выбрать коэффициенты ПФ W(p), из условия, чтобы: функционал (1) принимал требуемое для практики значение, где Y(t) – реальный процесс на выходе системы.
В общей постановке задачи ясно, что приходится производить минимизацию функционала (1). Метода минимизации общего не существует, одни методы хороши для одних задач, другие для остальных, поэтому в инженерном плане интерес представлять методы, которые бы позволили получать, реализовывать функционал (1) с требуемой для практики точностью без использования интеррациональных процедур поиска минимума данного функционала.
Теорема о совокупности частных решений.
А(р)h(t)=B(p)1(t) – дано линейное стационарное дифференциальное уравнение.
1(t) – единичное ступенчатое воздействие.
h(t) – реакция системы на единичную функцию при начальных нулевых условиях.
1(t) Þ D0 + SDk sin kwt; w=2p/T
1/t
T/2 t
0
T
(рис.1)
ImW(jw)
j = arctg ¾¾¾¾
ReW(jw)
Если 1(t) представлены в форме тригонометрического ряда, то совокупность частных решений есть выходная функция с точностью до D.
h(t) = S [ W(jwk) ] Dk sin(kwt+j)+D
n B(Si) Д0 ¥ Dkkw
D = S ¾¾ eSit ¾ + S ¾¾¾¾ (1)
i=1 A(Si) Si K=1 Si2+K2w2
n B(Si) D0 ¥ Dkkw
D = S ¾¾ e-Sit - ¾ + S ¾¾¾¾ (2)
i=1 A(Si) Si k=1Si2+k2w2
При всех корнях Si характеристический полином выражения (1) преобразуется в выражение (2). Из выражения (2) следует что ошибка D для устойчивых систем может опознаваться на канальном участке траектории Si – корень характеристического полинома.
Практика расчётов показывает что величиной D можно пренебречь Þ замкнутая система может быть рассмотрена в форме из инерционного фильтра низких частот у которого полоса пропускания определяется периодом Т искусственной периодизации единичных ступенчатых воздействий, а наклон ЛАЧХ определяется соотношением периода искуственной периодизации к времени переходного процесса.
1(t) h(t)
ФНИ
xвых
20lg[W]
Wп lg W
К1(t)
t
Слово безынерционность нельзя понимать, что нет инерции, но в силу принципа суперпозиции из форм для D видно, что суммарное свободное составляющее равно сумме свободных составляющих, вызванных от простого сигнала, лежащего в спектре входного задающего сигнала, равного нулю.
Для задач анализа и синтеза единичное ступенчатое воздействие искусственно преобразуется (рис.1) и соответственно движение на участке (0; Т) апроксимируется тригонометрическим рядом Фурье.
Алгоритм построения переходной характеристики.
Построение переходной характеристики является важной состовляющей частью процесса проектирования. В настоящее время имеется достаточно много методов. Наибольшее применение получил метод Рунге-Кутта, W параметров обеспечивает однообразие вычислений и достаточную точность вычислений, однако наиболее просто эта задача может быть решена на основе теоремы, сформулированной.
¥
1(t)=D0+S Dk sin kwt
k=1
Очевидно, что переходная функция как совокупность постных решений ищется на участке времени (0, T/2).
Следует заметить, то в самой постановке задачи кроется неопределённость которая заключается в следующем: количество частных решений, необходимое при анализе, определяет АЧХ исходного уравнения, которое мы заранее не знаем. Однако данная неопределённость устраняется назначенной траектории в задачах синтеза, что является главным.
Рассмотренное построение на примере уравнения 4-го порядка.
(р2+а1р3+а2р2+а3р+а4)h(t)=(a3p+a4)1(t)
¥
h(t)=SAk cos kwt+Bk sin kwt +A0
. k=1
h(t)=-kwAksinkwt+kwBkcoskwt
..
h(t)=-k2w2Akcoskwt-k2w2Bksinkwt
...
h(t)=k3w3Aksinkwt-k3w3Bk cos kwt
....
h(t)=k4w4Ak cos kwt+k4w4 sin kwt
Подставим, все эти уравнения в исходное уравнение, и сравнивая полиномы при одинаковых функциях временного определения Ак и Вк получим систему алгебрарических уравнений II порядка.
k4w4Ak cos + k4w4Bk sin + a1k3w3Ak sin – a1k3w3Bk cos –
a2k2w2Ak cos – a2k2w2Bk sin – a3kwAk sin + a3kwBk cos + a4Ak cos
+ a4Bk sin=kwa3Dk cos+a4 Dk sin
1) для косинуса
k4w4Ak-a1k3w3Bk-a2k2w2Ak+a3kwBk+a4Ak=kwa3Dk
2) для синуса
k4w4Bk+a1k3w3Ak-a2k2w2Bk-a3kwAk+a4Bk=a4Dk
1) Ak(k4w4-a2k2w2+a4)+Bk(-a1k3w3+a3kw)=kwa3Dk
2) Ak(a1k3w3-a3kw)+Bk(k4w4-a2k2w2+a4)=a4Dk
1) AkF1+BkF2=kwa3Dk
2) Ak(-F2)+BkF1=a4Dk
Из системы находим Ak и Вк, тогда
h(t)=bn/an*D0+Ak cos+SBk sin
Построение АЧХ
А(w)
w
w=0 шаг=0,1
до 20
Алгоритм построения переходной характеристики.
1. Ввод исходных данных А1, А2, ...
2. w=2p/4fy
3. T=0, 0 текущее время.
К- номер гармоники задающего сигнала.
4. DO2 I=1,5
5. R=0,0
6. DO3 K1,15,2
R=R+Ak cos kwt + Bk sin kwt
S(I)=R
T=T+DT
Синтез следящих систем.
А(р)хвых(t)=B(p)1(t) (1)
h(t)=хвых
На входе создаётся желаемая переходная функция, необходимо выбрать координату В(р) и А(р) из условия воспроизведения желаемой переходной характеристики.
h(t)
T m=T/ty
Ty T/2-ty ty T/2-ty
а) выходная функция h(t) и входной единичный скачок подвергаются искусственной периодизации. Быстрота сходимости первого тригонометрического ряда,апроксимирующего периодичность движения.
движение
апроксимации (1)
Т/2 T
¥ ¥
h(t)=A0+SAk cos kwt+SBk sin kwt
k=1 k=1
Ak и Вк должны быть коэффициентами Фурье разложенные по формулам Бейселя, если h(t) задано графически, Эйлера, если h(t) задано аналитически. Быстрота сходимости тригонометрического ряда к исходной функции h(t) зависит от числа m – от соотношения периода искусственной периодизации по времени управления.
Наибольшая сходимость при m=2, однако в данном случае не закладывается характер процесса за временем восстановления – время первого согласования.
tп.п.
T/2 T
Для того, чтобы тригонометрический ряд (*) содержал только 0 или нечётные гармоники необходимо выполнить условие
h(t)=h(T/2)-h(t-T/2) при Т/2£t£T
В уравнение (1)
А(р)h(t)=B(p)1(t)
h(t) и 1(t) в форме тригонометрических гармоник и сравнивая полиномы при одинаковых функциях времени мы получим систему алгебрарических уравнений для нахождения аi, bj;
Пример:
(р4+а1р3+а2р2+а3р+а4)h(t)=(a3p+a4)1(t)
k4w4Ak-a1k3w3Bk-a2k2w2Ak+a3kwBk+a4Bk=a3kwDk
астатизм II порядка
k4w4Bk+a1k3w3Ak-a2k2w2Bk-a3kwAk+a4Bk=a4Bk
Неизвестен вектор а1
а2
а3
а4
-w3B1; -w2A1; w(B1-D1); A1 a1 w4A
w3A1; -w2B1; -wA1; B1-D1 a2 -w4B1
-w333B3; -w2A323;3w(B3-D3);A3 a3 = -w434A3
w3A33; -w232B3;3wA3;A3;B3-D3 a4 w434B3
Физическое обеспечение результатов.
1(t) B(p) h(t)
A(p)
Pяд h(t), быстро сходится Þ основное влияние имеют первые гармоники.
Если мы на входе задали вход: гармонику с определённым изменением фазы и амплитуды, основное влияние 1 и 3 гармоники, собственно мы должны потребовать на входе такое не соответственное изменение, воздействие, чтобы его обеспечить нужно подобрать коэффициенты Ак и Вк.
_________
h(t)=Ak cos + Bk sin = Ö Ak2+Bk2
sin(kwt+arctg Ak/Bk)
_____________
Ö(Ak2+Bk2)/Dk = [ W(jwk)] модулю АЧХ
ImW(jwk)
jк=arctg ¾¾¾¾¾=arctg(Ak/Bk) сдвиг по фазе
RmW(jwk)
Очевидно, что чем больше гармоник мы будем учитывать в синтезе, тем точнее будет воспроизводиться заданная ПФ, таким образом, нами получена возможность строить многообразия дифференциальных уравнений по заданному частотному интегралу в форме заданной ПФ, при этом в качестве условий доопределения выступет точность реализации заданной h(t), а в качестве условия решения задачи выступает условие устойчивости получаемого дифференциального уравнения.
(p4+a1p3+a2p2+a3p+a4)h(t)=a4 1(t)
нет ПИ-РС, астатизм 1-го порядка
АХ=В
Матрица В и матрица Х остаются без изменения по сравнению с приведённым примером. Изменённые элементы АВ и А33.
А13=wB1
А33=3wB3
Решение системы алгебрарических уравнений производится на ЭВМ с помощью стандартной подпрограммы STMQ, обращение к которой производится САLL STMQ (A, B, N, K).
Матрицы А, B должны быть описаны и сформированы ранее обращения к этому оператору.
М – порядок системы М=4
К – признак правильности расчётов
Если в процессе расчёта К=0 – результату можно верить, если К=1 – результату нельзя верить. Результаты вычислений помещаются в массив В.
TYPE 2, B, K
2FORMAT (2x; 5E11. 4) Е - специфика с плавающей точкой.
W=d*7 w – общее число знаков
Е. w. d. D – количество знаков после запятой
Постановка задачи синтеза следящего ЭП.
4 KI Iя
С1 J1 C2 J2
1(t) h(t)
ПИ > ЭД
Рa0Кw
KuM0+Kpu-pM0
Задача заключается в выборе вектора корректирующих средств
[х]=[КI,Кw,Кpн,Кн,Км,Кп,Ку]
Из условия воспроизведения задают ПФ, а также проверке качественных характеристик синтезаированного привода.
КI – коэффициент обратной связи по Iя
Кw – коэффициент ООС по скорости угла поворота
Крн – коэффициент ОС по производной по упругому моменту.
Кп – коэффициент по пропорциональности ПИД.
Кs - коэффициент по интегрированной части ПИД.
С1, С2, J1, J2, q1, q2 параметры исполнительного элемента – ЭД, он должен обеспечивать необходимую энергетику для получения заданного переходного процесса решаем задачу в информационных ограничениях
f(t) Y(t) 0
W(p)
0
n B(Si) Д0 ¥ Dkkw
1(t) h(t)
ФНИ
xвых
20lg[W]
К1(t)
Построение АЧХ
w
h(t)
T m=T/ty
A(p)
1(t) h(t)
ПИ > ЭД
KuM0+Kpu-pM0
есх
a0 Mвых
Ck