Угол между векторами

Пример 2: Векторы и образуют угол j = Найти длину вектора = 2 - 3 , если = 2, = 1.

Решение. Согласно свойству скалярного проиведения, квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату. Найдем скалярный квадрат вектора :

= 4 - 12 + 9 = 4 - 12 cos j + 9 = 4 * 2 ² – 12 * 2 * 1 cos ( ) + 9 * 1² = 16 –12+ + 9 = 13. Следовательно, =

Пример 3:Найти угол ÐА в треугольнике с вершинами А (1; 2; - 1), В (5; 5; 11), С (13; 18; 20).

Решение. Искомый угол – это угол между векторами = = {4;3;12} и = = {12;16;21}. По формуле (§3, следствие 2 ) имеем:

CosÐ А =

Таким образом, угол ÐА = arccos ( ) » 23 ⁰ .

Пример 4: Даны вершины треугольника: А(2;-1;3), В(1;1;1), С(0;0;5). Найдите длину стороны АВ и .

Решение: Найдем координаты вектора, зная координаты его начала и конца:

, .
, ,
, , .

Ответ: , .

Пример 5: Найти

Решение. Воспользуемся формулой

где – скалярное произведение векторов и .

Вычислим :

Найдем модули векторов

Тогда

Пример 6.

Векторортогоналенвектору Найти

Решение.

Так как вектор ортогонален вектору ,то , и, значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:

С другой стороны

Итак,

и