Теорема:Если векторы 
, 
, 
заданы своими координатами ={Х1; У1; Z1 } и 
={Х2 ;У2; Z2 }, ={Х3; У3; Z3}, то смешанное произведение · · определяется формулой
· · = 
=Х 1 
+У1 
+Z1 
.
Доказательство: Имеем: · · = · ( ´ ) . По теореме о выражении векторного произведения через координаты векторов ´ = 
; 
; 
.
Умножая скалярно вектор ={Х1 ;У1; Z1 } на вектор ´ и используя теорему о выражении скалярного произведения через координаты получаем
· · = Х1 + У1 + Z1 . g
Пример.В пространстве даны четыре точки: А(1; 1; 1), В(4; 4; 4), С (3; 5 ; 5 ), D(2; 4; 7). Найти объем пирамиды, с вершинами в данных точках.
Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем тетраэдра АВСD равен одной шестой объема параллелепипеда, построеного на векторах 
, 
, 
; отсюда из теоремы о смешанном произведении заключаем, что объем тетраэдра равен 
абсолютной величины смешанного произведния · · . Найдем это смешанное произведение. Прежде всего, определим координаты векторов ; ; . Для этого из координат конца вектора вычесть координаты начала: = {3; 3; 3}, ={2; 4; 4}, = {1; 3; 6}. Используя теорему о смешанном произведении, получаем · · = 3 
+ 3 
+ 3 
= 3 · 12 – 3 · 8 + 3 · 2 = 18. Отсюда V = · 18 = 3 куб. ед.
