АЧХ идеального и реального фильтра нижних частот (ФНЧ). Аппроксимации АЧХ идеального ФНЧ: Баттерворта, Чебышева, Бесселя – достоинства и недостатки.

Классификация частотно-избирательных фильтров. Фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосно-пропускающий (ППФ), полосно-заграждающий (ПЗФ). Передаточная функция реализуемого фильтра.

Электрический фильтр – это частотно-избирательное устройство, пропускающее сигналы одних частот и ослабляющее сигналы других частот. Различают 4 основных вида фильтров:

- фильтр НЧ (пропускает НЧ от 0 Гц и задерживает ВЧ);

- фильтр ВЧ (пропускает ВЧ и задерживает НЧ);

- полосно-пропускающий фильтр (пропускает полосу частот и подавляет частоты выше и ниже этой полосы);

- полосно-заграждающий фильтр (подавляет определенную полосу частот и пропускает частоты выше и ниже этой полосы).

Характеристику частотно-избирательного фильтра принято описывать при помощи передаточной функции:

, где U_in(p) и U_out(p) – р-изображения сигналов, полученные путем прямого непрерывного преобразования Лапласа.

АЧХ фильтра описывает модуль передаточной функции , а ФЧХ – аргумент передаточной функции .

. [ω] = рад/с, [f] = Гц, ω = 2πf .

Рассмотрим АЧХ фильтра нижних частот (ФНЧ):

– полоса пропускания

– полоса задерживания

– переходная область

Частота среза – это частота, на которой происходит сопряжение областей пропускания и задерживания. Амплитудно-частотную характеристику принято графически представлять в логарифмическом масштабе:

, дБ

или при помощи затухания для нормированной АЧХ (имеющей единичный коэффициент передачи в полосе пропускания):

, дБ

Для большинства классов ФНЧ затухание на частоте составляет 3 дБ или раз.

С помощью физически реализуемых фильтров невозможно построить ФНЧ с идеальной АЧХ, но можно максимально приблизить реальную АЧХ к идеальной. Передаточная функция реализуемого фильтра представляет собой отношение полиномов:

,

Фильтры, у которых все кроме a₀, называются полиномиальными. Порядок фильтра определяется максимальной степенью n знаменателя передаточной функции. Чем выше n, тем ближе АЧХ к идеальной. Однако при этом увеличиваются аппаратные затраты на реализацию фильтра и ухудшаются его динамические свойства. Расчет фильтра предполагает получение АЧХ, наиболее приближенной к идеальной при минимальных аппаратных затратах.

При улучшении амплитудно-частотной характеристики фазочастотная характеристика ФНЧ будет ухудшаться, и наоборот. Как правило, расчет фильтра производится с учетом как формы АЧХ, так и формы ФЧХ в соответствии с требованиями, предъявляемыми к фильтру (неискаженная передача либо лучшее помехоподавление).

АЧХ идеального и реального фильтра нижних частот (ФНЧ). Аппроксимации АЧХ идеального ФНЧ: Баттерворта, Чебышева, Бесселя – достоинства и недостатки.

АЧХ фильтра нижних частот (ФНЧ) имеет вид:

– полоса пропускания

– полоса задерживания

– переходная область

С помощью физически реализуемых фильтров невозможно построить ФНЧ с идеальной АЧХ, но можно максимально приблизить реальную АЧХ к идеальной. Передаточная функция реализуемого фильтра представляет собой отношение полиномов:

,

Фильтры, у которых все кроме a₀, называются полиномиальными. Порядок фильтра определяется максимальной степенью n знаменателя передаточной функции. Чем выше n, тем ближе АЧХ к идеальной.

Для фильтров 1-го порядка передаточная функция представляется в виде:

,

где C – постоянное число, k – коэффициент усиления на постоянном токе, ω_с – частота среза.

Для фильтров 2-го порядка передаточная функция имеет вид:

,

где B и С – постоянные числа, k – коэффициент усиления на постоянном токе, ω_с – частота среза.

Коэффициент усиления активного ФНЧ – это значение модуля коэффициента передачи при ω=0:

.

Существует множество типов фильтров, удовлетворяющих набору требований по A, A₁, A_2, ω_c, ω₁. Наиболее распространены среди них фильтры Баттерворта и Чебышева, являющиеся полиномиальными.

Фильтр Баттерворта обладает максимально плоской АЧХ или монотонной АЧХ, никогда не возрастающей с увеличением частоты. Частота среза ω_с фильтра Баттерворта определяется по относительному уровню A₁ = – 3 дБ. Аппроксимация Баттерворта обеспечивает наилучшее приближение реальной АЧХ к идеальной АЧХ в области низких частот.

Фильтр Чебышева обладает равноволновой АЧХ, которая содержит пульсации, или колебания коэффициента передачи в полосе пропускания и монотонна в полосе задерживания. Частота ω_с фильтра Чебышева четного порядка определяется по уровню A₁ = A дБ, нечетного порядка – по уровню A₁ = A–α₁ дБ,
где α₁ – максимально допустимое затухание в полосе пропускания. Аппрксимация Чебышева обеспечивает наилучшее приближение реальной АЧХ к идеальной АЧХ в смысле минимума среднеквадратического отклонения.

Инверсный фильтр Чебышева имеет АЧХ, которая монотонна в полосе пропускания и содержит пульсации в полосе задерживания. На рисунке показан инверсный фильтр Чебышева 4-го порядка.

Эллиптический фильтр Чебышева имеет АЧХ, содержащую пульсации как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. АЧХ эллиптического ФНЧ имеет самый крутой наклон на частотах выше ω_с в переходной области АЧХ. На рисунке показана АЧХ эллиптического фильтра Чебышева 4-го порядка.

Фильтр нижних частот Бесселя отличается от других фильтров тем, что имеет оптимальную фазочастотную характеристику с точки зрения неискаженной передачи широкополосного сигнала в полосе пропускания. Проходящий через фильтр сигнал не изменит своей формы, если все гармоники сигнала будут задерживаться в фильтре на одно и то же время. Поскольку фазовый сдвиг измеряется в долях периода рассматриваемой гармоники, то постоянство времени задержки равносильно линейной частотной зависимости фазового сдвига сигнала в фильтре. Фильтр Бесселя обеспечивает наилучшее приближение реальной ФЧХ к идеальной линейной зависимости, но имеет наименьший наклон АЧХ в полосе подавления.

Время замедления фильтра Бесселя 4-го порядка:

Частота среза фильтра Бесселя определяется по характеристике группового времени задержки τ(ω), как частота, на которой характеристика τ(ω) начинает монотонно спадать от значения τ(0).