Метод конечных элементов для анализа механической прочности

В качестве исходного положения в методе конечных элементов принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется как разность энергии деформации тела и работы массовых и приложенных поверхностных сил.

В свою очередь, в установившемся состоянии

(1)

где — вектор-строка относительных деформаций, — вектор-столбец напряжений, , — рассматриваемая область в пространстве . Каждый элемент вектора характеризует напряжение, направленное вдоль оси и имеющее место в площадке, перпендикулярной оси . Аналогичный смысл имеют индексы у элементов вектора .

Деформации можно выразить через перемещения с помощью уравнений Коши

(2)

где — перемещение вдоль оси , или в матричной форме

(3)

где — очевидный из (2) оператор дифференцирования.

Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы , характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл. 1:

(4)

Фигурирующие в табл. 1 коэффициент и модуль сдвига называют постоянными Ламе. Эти коэффициенты связаны с модулем упругости и коэффициентом Пуассона соотношениями и . В табл. 1 .

Подставляя (4) и (3) в (1), получаем

Таблица 1

Решением задачи должно быть поле перемещений . В соответствии с МКЭ это решение аппроксимируется с помощью координатных функций и неопределенных коэффициентов, которые применительно к совокупности конечных элементов представим в матричной форме:

где — матрица координатных функций, — вектор неопределенных коэффициентов.

Заменяя ( ) на ( ), получаем

(5)

где — матрица жесткости.

В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия имеем

или, дифференцируя (5), находим

(6)

где — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности, согласно МКЭ, сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений (6).

Матрица жесткости оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (6) применяют методы разреженных матриц.