Методы анализа на микроуровне

В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных — их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы — это сеточные методы.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т.е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является система обыкновенных дифференциальных уравнений для задачи нестационарной или система алгебраических уравнений для стационарной.

Пусть необходимо решить уравнение с заданными краевыми условиями где и — дифференциальные операторы, — фазовая переменная, — вектор независимых переменных, ( ) и ( ) — заданные функции независимых переменных.

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.

Рис. 1. Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач

Примеры шаблонов для одномерных и двумерных задач приведены на рис. 1. На этом рисунке кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная. Черными точками обозначены узлы, значения фазовой переменной в которых входят в аппроксимирующее выражение. Число, записанное около узла, равно коэффициенту, с которым значение фазовой переменной входит в аппроксимирующее выражение. Так, для одномерных шаблонов в верхней части рисунка показана аппроксимация производной в точке , и указанным шаблонам при их просмотре слева направо соответствуют аппроксимации

где — шаг дискретизации по оси .

Шаблоны для двумерных задач в нижней части рис. 1 соответствуют следующим конечно-разностным операторам:

· левый рисунок:

· средний рисунок:

· правый рисунок:

Здесь — значение в точке ; приняты одинаковые значения шагов по обеим координатам.

Метод конечных элементов основан на аппроксимации не производных, а самого решения . Но поскольку оно неизвестно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами

(1)

где — вектор-строка неопределенных коэффициентов, — вектор-столбец координатных функций (опорных функций), заданных так, что удовлетворяются граничные условия.

При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений (например, — полиномы низких степеней). В результате подстановки в исходное дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязок

(2)

из которой требуется найти вектор .

Эту задачу (определение ) решают одним из следующих методов:

· метод коллокаций, в котором, используя (2), формируют уравнений с неизвестным вектором :

где — число неопределенных коэффициентов;

· метод наименьших квадратов, основанный на минимизации квадратов невязок в точках или в среднем по рассматриваемой области;

· метод Галеркина, с помощью которого минимизируются в среднем по области невязки со специально задаваемыми весовыми коэффициентами.

Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности объектов. Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т.е. выполнить алгебраизацию исходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики.