Решение задач ГП с ненулевой степенью трудности

Для получения однозначного решения необходимо рассмотреть бидвойственную функцию

, (2.35)

которая обладает замечательным свойством, состоящим в том, что она не зависит от направления нормализованного вектора δ в двойственном пространстве. В дальнейшем это свойство используется для получения единственного направления вектора δ*.

При этом решение должно быть заменено более общим выражением вида

.

Последнее соотношение не зависит от двойственного вектора δ, поскольку последний лежит на гиперплоскости нормализации. Пусть δ' и δ" - два каких-либо двойственных вектора. Поэтому можно записать следующие выражения:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

1 = (δ* | δ'''),

где δ''' = δ' - δ''.

Так как векторы δ' и δ" лежат на гиперплоскости нормализации, их разность δ"' представляет собой вектор невязки. Учитывая, что имеется d независимых векторов невязки, получаем следующие d независимых уравнений:

1 = V(δ^* | b^(s)), s = l,...,d. (2.36)

Теперь двойственная функция содержит d неизвестных, а именно d базисных переменных r_s:

,

поэтому уравнений (2.36) достаточно для того, чтобы полностью определить базисные переменные.

При решении практических задач в формуле (2.36) удобно разделить известные постоянные и неизвестные базисные переменные. С этой целью, используя формулу (2.35), перепишем соотношение (2.36) в виде

.

Эти уравнения имеют такой же вид, что и уравнения равновесия в химии, поэтому называются уравнениями равновесия. Например, для задачи, представленной в п. 2.8.2, можно записать

,

что дает единственное уравнение равновесия:

.

После преобразований можно записать

.

Данное уравнение равновесия может быть непосредственно решено относительно r:

Если целевая функция является более сложной, например:

то соответствующее уравнение равновесия, которое необходимо решить численно, имеет вид

.

Следовательно, метод ГП можно отнести к классу аналитических при нулевой степени трудности, а при d > 0 необходимо решать одно или несколько нелинейных уравнений, что является относительно простой задачей при современном уровне вычислительной техники, поэтому ГП должно найти широкое применение при проектировании элементов и агрегатов, а также РК в целом.