Задания РГЗ по теме «Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»

РГЗ состоит из четырех задач. Задание на каждую задачу включает в себя ее формулировку и двадцать вариантов исходных данных.

Задача 1. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы.

Номер варианта	Сила	Параметрические уравнения кривой L	Значения параметра t в точках B и C

Задача 2. Задан радиус-вектор движущейся точки: . Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 4 секунды после начала движения.

№ варианта	Радиус-вектор	№ варианта	Радиус-вектор

Задача 3. Дано векторное поле и уравнение плоскости d.

Номер варианта	Векторное поле	Уравнение плоскости d
		2x + 2y + z – 2 = 0
		2x + 3y + z – 1 = 0
		3x + 2y + z – 6 = 0
		x + 2y + 2z – 2 = 0
		3x + y + 2z – 3 = 0
		4x + y + 2z – 2 = 0
		x + y + 2z – 2 = 0
		2x + 3y + 4z – 6 = 0
		x + 2y + 4z – 4 = 0
		x + 5y + z – 5 = 0
		x - 2y + z – 2 = 0
		2x – 3y + z – 3 = 0
		2x - 2y + z – 6 = 0
		- x - 2y + 2z – 2 = 0
		3x + y + 2z – 3 = 0
		3x - y + 2z – 2 = 0
		2x +3y + 2z – 6 = 0
		2x - 2y + 4z – 4 = 0
		-x + 2y + 2z – 4 = 0
		x + 5y + z – 5 = 0

Требуется:

1) найти поток поля через плоскость треугольника АВС и через плоскость AOB, где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2) используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали;

3) найти циркуляцию поля по контуру треугольника АВС непосредственно и по формуле Стокса

Задача 4. Проверить, является ли векторное поле заданной силы потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы при перемещении единичной массы из точки M в точку N, где точки M и N заданы.

Номер варианта	Сила	Точки M и N
		M(–1, 0, 0), N(1, 2, 1)
		M(0, –2, 1), N(1, 0, 0)
		M(1, –2, 0), N(3, 0, –1)
		M(0, –1, –2), N(1, –3, 0)
		M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0)
		M(2, 1, 0), N(0, –1, 3)
		M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1)
		M(0, 1, –2), N(1, –2, –1)
		M(0, –1, 4), N(1, 0, 3)
		M(2, –2, 1), N(3, 0, –1)
		M(–1, 0, 0), N(1, -2, 1)
		M(0, –2, 1), N(1, 0, 0)
		M(1, –2, 0), N(3, 0, –1)
		M(0, 1, 2), N(-1, 3, 0)
		M(–2, 0, 1), N(–1, 1, 0)
		M(2, 0, 0), N(0, –1, 3)
		M(–1, 2, 1), N(0, 1, –1)
		M(1, –2, –1), N(0, 1, –2)
		M(1, 0, 3), N(0, –1, 4)
		M(2, 2, 1), N(3, 0, –1)

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение векторного поля.

2. Перечислите основные характеристики векторного поля

3. Дайте определение дивергенции векторного поля

4. Дайте определение ротора векторного поля

5. Сформулируйте теорему Стокса

6. Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса

7. Дайте определение соленоидального векторного поля.

8. Дайте определение потенциального векторного поля.

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М. : Рольф, 2002. – 256 с.

2. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 2007.– 479 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие для втузов: в 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– Изд. стер. – М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.