Аналитическая геометрия и векторная алгебра

Задание№1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если угол между векторами и равен . , , , , .

Воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения: равно площади параллелограмма, построенного на векторах и . Воспользуемся свойствами векторного произведения

, где , , т.к. .

Задание№2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и . , , , .

Векторы коллинеарны, когда их координаты пропорциональны. Найдем координаты векторов и .

Координаты пропорциональны, следовательно, и – коллинеарны.

Задание№3. Проверить компланарность векторов , , . , , .

Векторы , , компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

= .

Следовательно, , , компланарны.

Задание№4. Написать разложение вектора по векторам , , . , , , .

Представим вектор в виде линейной комбинации векторов , , :

Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси OX, OY, OZ.

Решим систему уравнений относительно .

. Найдем сумму 2-ого и 3-его уравнений , . Подставим , во 2-ое уравнение: .

Следовательно, .

Задание№5.Даны четыре точки в трехмерном пространстве

. Показать, что они могут являться вершинами пирамиды. Найти: а) объем пирамиды; б) уравнение плоскости ; в) длину ребра ; г) угол между ребром и гранью ; д) площадь грани .

Пусть есть проекции точек на плоскость . Найти: е) длину высоты ; ж) угол между высотой и медианой треугольника .

Пример. Даны четыре точки , , , . Покажем, что эти точки могут являться вершинами пирамиды. Составим три вектора , , . Проверим условие компланарности этих трех векторов. Составим определитель из координат векторов

Так как определитель отличен от нуля, то векторы не лежат в одной плоскости и точки , , , могут являться вершинами пирамиды.

Найдем а) объем этой пирамиды.

(куб. ед.).

Найдем б) уравнение плоскости . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки

Найдем в) длину ребра .

Найдем г) угол между ребром и гранью .

Угол между ребром и гранью находится через угол между вектором и вектором , перпендикулярным плоскости . .

Вектор перпендикулярен .

Найдем д) площадь грани . Площадь треугольника равна . Найдем векторное произведение векторов и

, , – проекции точек , , на плоскость .

Найдем е) длину высоты .

Напишем уравнение прямой и найдем

расстояние от точки до прямой .

Найдем ж) угол между высотой и медианой треугольника .

Вектор коллинеарен вектору , перпендикулярному прямой . Найдем координаты точки , которая является серединой .

Найдем координаты вектора .

Угол между высотой и медианой будем определять через векторы и .

, .

Прямые и образуют между собой два угла, которые в сумме составляют .Так как угол между высотой и медианой не может быть больше , то .

Задание№6. Написать канонические уравнения прямой в пространстве по заданным общим уравнениям

Найдем координаты точки, которая лежит на прямой . Придадим переменной произвольное значение, например . Тогда, подставив в уравнения прямой , получим систему линейных уравнений относительно .

Решим систему:

, .

Следовательно, точка .

Найдем теперь вектор , параллельный прямой . , где , векторы нормали для плоскостей, в пересечении которых получается прямая .

Запишем теперь канонические уравнения прямой:

Задание№7. Найти точку пересечения прямой и плоскости. Прямая задана каноническими уравнениями

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой:

Подставим , , в уравнение плоскости :

Найдем координаты точки пересечения

Задание№8. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

Вектор параллелен прямой. Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Найдем точку пересечения прямой и полученной плоскости.

Найдем параметрические уравнения прямой и подставим в уравнение плоскости

Точка является серединой отрезка . Найдем координаты точки .

, , .

Т.е. .

Задание№9. Определить тип кривой второго порядка по общему уравнению .

Соберем слагаемые с переменной и переменной

Вынесем за скобки коэффициент при и , дополним выражение в скобках до полного квадрата

Поделим обе части уравнения на 36:

Это каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями .

Задание№10. Построить область решения системы неравенств

Заменим знак неравенства на равно и определим тип кривой в первом выражении системы.

Это каноническое уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями . Построим эту линию

Неравенство определяет множество точек, лежащих внутри гиперболы. Подставим в неравенство координаты точки , – это неверно. Следовательно, неравенству удовлетворяют точки, лежащие по другую сторону от линии относительно точки А. – это прямые линии. Неравенство определяет множество точек, лежащих ниже прямой , определяет множество точек, лежащих выше прямой . Область, обозначенная двойной штриховкой является решением системы неравенств.

Задачи для самостоятельной работы.

Задача № 1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если угол между векторами и равен .

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

Задача № 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

Задача № 3. Компланарны ли векторы , , ?

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

Задача № 4. Написать разложение вектора по векторам , , .

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

Задача № 5. Даны четыре точки в трехмерном пространстве . Показать, что они могут являться вершинами пирамиды. Найти: а) объем пирамиды; б) уравнение плоскости ; в) длину ребра ; г) угол между ребром и гранью ; д) площадь грани .

5.1