Линейная алгебра

Линейная и векторная алгебра.

Аналитическая геометрия

Рекомендовано учебно-методической комиссией

специальности 150402 «Горные машины и оборудование» в качестве электронного издания для организации СР

КЕМЕРОВО 2010

Рецензенты:

Волков В.М. доцент кафедры высшей математики

Хорешок А.А. председатель УМК специальности 150402 «Горные машины и оборудование»

Прейс Елена Валерьевна, Волкова Екатерина Анатольевна,

Рябкова Анна Вячеславовна. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия : учеб. пособие [электронный ресурс] : для студентов очной формы обучения специальности 150402 «Горные машины и оборудование» / Е.В. Прейс. Е.А. Волкова. А.В. Рябкова. – электрон. дан. – Кемерово : ГУ КузГТУ , 2010. – 1 электрон. опт. диск (CD – ROM) ; зв. цв. ; 12 см. – Систем. требования : Pentium IV ; ОЗУ 8 Мб ; Windows 95 ; (CD - ROM – дисковод) ; Загл. с экрана.

Предлагаемые методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов по теме «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия », и представляют собой решения типовых заданий с подробными пояснениями, и сами задания для самостоятельной работы. Цель работы – помочь студентам выработать умения и навыки, необходимые при изучении технических дисциплин и освоении инженерной профессии.

Линейная алгебра

Задание№1. Для выполнения этого задания нужно усвоить понятия определителей второго, третьего, n-ого порядка и общее правило вычисления определителей через алгебраические дополнения. Необходимо так же знать свойства определителей.

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка, предварительно упростив его.

Чтобы вычислить определитель 4-ого порядка, его нужно разложить по элементам любой строки или столбца. Если часть элементов строки или столбца являются нулями, то вычисления упрощаются. Получим нули в первом столбце данного определителя. Для этого воспользуемся свойством: определитель не изменится, если ко всем элементам строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любое число. Прибавим ко второй строке четвертую. К третьей прибавим первую, умноженную на (–1). К первой, прибавим четвертую, умноженную на(–2). Получим определитель, в первом столбце которого содержится только один элемент отличный от нуля. Разложим определитель по первому столбцу.

Вычислим определитель третьего порядка, разложив его по элементам первой строки. – алгебраические дополнения.

Задание№2,3. Для решения этих заданий изучаем метод Крамера решения систем линейных уравнений, действия над матрицами, а так же матричный способ решения систем линейных уравнений. Матричный способ основан на вычислении обратной матрицы и операции умножения матриц.

Пример: Найти решение системы линейных уравнений а) методом Крамера, б) матричным способом.

а) Составим определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных. Вычислим его, разложив по элементам первой строки.

Определитель составлен заменой первого столбца, т.е. коэффициентов при , свободными коэффициентами в определителе . Вычислим его разложением по первому столбцу.

Аналогично найдем определители , , заменяя 2-ой и 3-ий столбцы в определителе на свободные коэффициенты.

вычислили, разложив по элементам третьей строки. вычислим также.

Тогда решение системы получаем как отношение определителей

б) Решим эту же систему матричным методом. Для этого перепишем систему линейных уравнений в матричном виде. Пусть матрица составлена из коэффициентов при неизвестных в левой части системы уравнений.

Матрица – столбец неизвестных системы. Матрица – столбец свободных коэффициентов. Тогда исходная система может быть записана в виде

.

Выразим матрицу из уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на с левой стороны: По свойству обратной матрицы , где – единичная матрица.

, т.к. , получаем .

Следовательно, чтобы получить решение системы, нужно найти обратную матрицу к матрице и умножить ее на матрицу .

Найдем определитель матрицы

Найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы .

, , , , , , , , .

Составим матрицу из алгебраических дополнений

.

Перепишем строчки в столбцы, т.е. проведем операцию транспонирования.

.

Найдем обратную матрицу .

Найдем матрицу неизвестных

Следовательно, решение системы:

Пример: Найти , где

; ; .

Найдем , умножив каждый элемент матрицы на 2.

Найдем

Следовательно,

Задание№4,5,6. Для выполнения этих заданий нужно изучить метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Рассмотреть случаи, когда система имеет единственное решение, множество решений, не имеет решений.

Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай единственного решения).

Выпишем коэффициенты при неизвестных и свободные коэффициенты в виде матрицы

Поменяем первую и четвертую строки местами, чтобы получить в первом уравнении коэффициент при равный 1. Получим коэффициенты при во второй, третьей и четвертой строках равными нулю. Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–4), к третьей – первую, умноженную на (–2), к четвертой – первую, умноженную на (–2).

Далее преобразуем вторую, третью и четвертую строки. К третьей строке прибавим четвертую, умноженную на (–1), затем к четвертой строке прибавим третью, умноженную на (–5).

(–1)

Умножим четвертую строку на (–1) и поменяем местами ее со второй. Затем получим нулевые коэффициенты при в третьей и четвертой строках. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на 2, к четвертой строке прибавим вторую, умноженную на 29.

Поделим третью строку на 21, четвертую на 280 и от четвертой вычтем третью.

Четвертая строка состоит из нулей, ее можно отбросить. Матрица коэффициентов при неизвестных приведена к треугольному виду. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем это решение. Запишем равносильную систему уравнений по полученной матрице коэффициентов.

Подставив во второе уравнение , найдем . . Подставив и в первое уравнение, найдем . . Следовательно, , , – решение системы. Сделаем проверку. Подставим полученные значения в исходные уравнения системы.

Получили тождества. Следовательно, система решена верно.

Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай множества решений).

Выпишем коэффициенты при неизвестных и свободные коэффициенты в виде матрицы

Проведем преобразования по методу Гаусса. Матрица коэффициентов при неизвестных приведена к виду трапеции (т.е. в последнем уравнении системы осталась не одна переменная). Это означает, что система имеет множество решений. Количество оставшихся уравнений соответствует количеству зависимых (базисных) переменных. В данном случае их три. Всего четыре неизвестных, следовательно, одна переменная свободная. Пусть это будет (может быть любая). Выразим зависимые переменные , , через свободную . Вернемся к системе уравнений по преобразованной матрице коэффициентов

Из последнего уравнения выразим через .

.

Подставим во второе уравнение системы и выразим через .

.

Выразим из первого уравнения через . Коэффициенты при и равны нулю, следовательно, подставлять их не нужно.

.

Итак, придавая любые значения будем получать множество значений , , .

Сделаем проверку. Для этого в исходную систему подставим выражения , , . Например, в первое уравнение.

.

Получилось тождество. Следовательно, система решена верно.

Ответ:

Пример: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса (случай, когда система не имеет решения).

Перейдем к системе уравнений:

Левая часть третьего уравнения обращается в нуль при любых значениях , , , а правая часть отлична от нуля. Следовательно, равенство не может быть выполнено ни при каких значениях переменных и система не имеет решения.

Задание№5 решается тоже методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений всегда имеет решение . То есть, однородная система имеет либо одно нулевое решение, либо множество решений.

Пример: Решить однородную систему линейных уравнений.

Решаем систему методом Гаусса. Преобразуем матрицу коэффициентов.

Осталось два уравнения, а переменных три, следовательно, система имеет множество решений. Найдем их.

Сделаем проверку. Подставим , в третье и первое уравнения исходной системы. Получаем:

Получились тождества. Значит система решена верно. Ответ:

Задание№7. Для выполнения этого задания нужно знать операции над матрицами. Матричное уравнение содержит неизвестную матрицу X. Нужно рассчитать ее размерность и найти элементы этой матрицы.

Пример: Решить матричное уравнение.

=

Обозначим:

(3×3), (2×3),

(2×3).

, , , , .

Матрица (C –B) имеет размерность (2×3), матрица имеет размерность (3×3), следовательно, у матрицы X будет размерность (2×3).

Найдем матрицу (С–В).

= – = .

Найдем обратную матрицу к матрице А.

, ,

, , ,

, , .

.

Сделаем проверку для , .

× = .

Вычисления выполнены верно. Найдем матрицу X.

= × =

= = = = .

Ответ: .

Задачи для самостоятельной работы.

Задача №1. Вычислить определитель

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7 1.8

1.9 1.10

1.11 1.12

1.13 1.14

1.15 1.16

1.17 1.18

1.19 1.20

1.21 1.22

1.23 1.24

1.25 1.26

1.27 1.28

Задача №2. Найти решение системы линейных уравнений а) методом Крамера, б) матричным способом.

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

2.11 2.12

2.13 2.14

2.15 2.16

2.17 2.18

2.19 2.20

2.21 2.22

2.23 2.24

2.25 2.26

2.27 2.28

Задача №3. Вычислить

3.1 , где

, ,

3.2 , где

, ,

3.3 , где

, ,

3.4 , где

, ,

3.5 , где

, ,

3.6 , где

, ,

3.7 , где

, ,

3.8 , где

, ,

3.9 , где

, ,

3.10 , где

, ,

3.11 , где

, ,

3.12 , где

, ,

3.13 , где

, ,

3.14 , где

, ,

3.15 , где

, ,

3.16 , где

, ,

3.17 , где

, ,

3.18 , где

, ,

3.19 , где

, ,

3.20 , где

, ,

3.21 , где

, ,

3.22 , где

, ,

3.23 , где

, ,

3.24 , где

, ,

3.25 , где

, ,

3.26 , где

, ,

3.27 , где

, ,

3.28 , где

, ,

Задача №4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

4.1 а) б)

4.2 а) б)

4.3 а) б)

4.4 а) б)

4.5 а) б)

4.6 а) б)

4.7 а) б)

4.8 а) б)

4.9 а) б)

4.10 а) б)

4.11 а) б)

4.12 а) б)

4.13 а) б)

4.14 а) б)

4.15 а) б)

4.16 а) б)

4.17 а) б)

4.18 а) б)

4.19 а) б)

4.20 а) б)

4.21 а) б)

4.22 а) б)

4.23 а) б)

4.24 а) б)

4.25 а) б)

4.26 а) б)

4.27 а) б)

4.28 а) б)

Задача №5. Решить однородную систему линейных уравнений.

5.1 5.2

5.3 5.4

5.5 5.6

5.7 5.8

5.9 5.10

5.11 5.12

5.13 5.14

5.15 5.16

5.17 5.18

5.19 5.20

5.21 5.22

5.23 5.24

5.25 5.26

5.27 5.28

Задача №6. Решить матричное уравнение.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28