Прямая на плоскости

1.Построить прямые, отсекающие на оси отрезок и составляющие с осью угол: 1) ; 2) . Написать уравнения этих прямых.

2.Построить прямые, отсекающие на оси отрезок и составляющие с осью угол: 1) ; 2) . Написать уравнения этих прямых.

3.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью угол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

4.Построить прямую, проходящую через начало координат и через точку , написать ее уравнение.

5.Определить параметры и для каждой из прямых:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

6.Построить прямые:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7.Определить параметры и прямой, проходящей через точку A(2; 3) и составляющей с угол . Написать уравнение этой прямой.

8.Привести к виду в отрезках на осях уравнения прямых:

1) ; 2) .

9.Даны точки и . На отрезке построен параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке . Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

10.Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

11.Прямые и пересекают прямую соответственно в точках и . Построить вектор , определить его длину и проекции на оси координат.

12.Лежат ли точки A(3; 5), B(2; 7), C(-1; -3) и D(-2; -6) на прямой или же они выше или ниже этой прямой ?

13.Каков геометрический смысл неравенств:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

14.Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:

1) , , ; 2) , , ;

3) , , .

Указание. Слово «область» здесь означает часть плоскости , координаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым условиям (например, неравенствам). Область называется замкнутой, если в нее включены точки, лежащие на границе области. В противном случае область называется открытой.

15.Прямые и пересекают прямую в точках и . Определить длину вектора и его проекции на оси координат.

16.Определить, какие из точек M₁(3; 1), M₂(2; 3), M₃(6; 3), M₄(-3;-3), M₅(3;-1), M₆(-2; 1) лежат на прямой и какие не лежат на ней.

17.Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

18.Найти точку пересечения двух прямых , .

19.Стороны , и треугольника даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин.

Указание. Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.

20.Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.

21.Определить угловой коэффициент и отрезок , отсекаемый на оси , для каждой из прямых:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

22.Дана прямая . Определить угловой коэффициент прямой:

1) параллельной данной прямой;

2) перпендикулярной к данной прямой.

23.Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1):

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно к данной прямой.

24.Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин A(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

25.Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

26.Найти проекцию точки P(-6; 4) на прямую .

27.Найти точку , симметричную точке P(-5; 13) относительно прямой .

28.В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей между ними:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , .

29.Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

30.Даны середины сторон треугольника M₁(2; 1), M₂(5; 3), M₃(3; -4). Составить уравнения его сторон.

31.Даны вершины треугольника M₁(2; 1), M₂(-1; -1), M₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

32.Стороны треугольника заданы уравнениями , , . Определить точку пересечения его высот.

33.Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1) и C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины на медиану, проведенную из вершины .

34.Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).

35.Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

36.Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4) и C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине .

37.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).

38.Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3) и B(-5; 1).

39.Найти точку , симметричную точке M₂(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки A(3; 4) и B(-1; -2).

40.Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1) под углом к данной прямой.

41.Точка A(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

42.Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , .

Указание. Воспользоваться условием перпендикулярности прямых .

43.Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых:

1) , ;

2) , ;

3) , .

Указание. Воспользоваться формулой для определения угла между двумя прямыми .

44.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , .

45.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

46.Доказать, что в следующих случаях две данные прямые совпадают:

1) , ;

2) , ;

3) , .

47.,Определить, при каких значениях и две прямые :

1) имеют одну общую точку;

2) параллельны;

3) совпадают.

48.Определить, при каком значении три прямые , , будут пересекаться в одной точке.

49.Составить для данных прямых уравнения в отрезках и построить эти прямые.

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

50.Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

51.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку B(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50 кв.ед.

52.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.

53.Через точку M(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв.ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

54.Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

55.Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) .

56.Определить полярный угол нормали и отрезок для каждой из данных прямых; по полученным значениям параметров и построить эти прямые на чертеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая и ):

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) , ; – острый угол;

9) , ; – острый угол.

57.Вычислить величину отклонения и расстояние точки от прямой в каждом из следующих случаев:

1) A(2; -1), ; 2) B(0; -3), ;

3) P(-2; 3), ; 4) Q(1; -2), .

58.Установить, лежат ли точка M(1; -3) и начало координат по одну или по разные стороны каждой из следующих прямых:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

59.Точка A(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислить площадь этого квадрата.

60.Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин A(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

61.Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками M₁(-5; 1), M₂( 3; 7).

62.Доказать, что прямая не пересекает отрезок, ограниченный точками M₁(-2; -3), M₂(1; -2).

63.Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3) и C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины B на медиану, проведенную из вершины C.

64.Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , .

65.Доказать, что прямая параллельна прямым , и делит расстояние между ними пополам.

66.Даны уравнения двух сторон квадрата ,

и одна из его вершин A(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

67.Даны уравнения двух сторон квадрата: , . Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M₁(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

68.Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек A(5; -1) и B(3; 7).

69.Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и :

1) проходящей через точку A(3; -1);

2) проходящей через начало координат;

3) параллельной оси Ox;

4) параллельной оси Oy;

5) параллельной прямой ;

6) перпендикулярной прямой .

70.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отсекающей на оси ординат отрезок . Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

71.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , и делит пополам отрезок, ограниченный точками M₁(5; -6) и M₂(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

72.Даны уравнения сторон треугольника , , . Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого треугольника.

73.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , под углом к прямой . Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

74.Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая принадлежит этому пучку.